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 dans le système 



(lO) X = u{t-t)-'-, f=:i>{t-i)-l^, Z = W[t-i)_.^,.... 



» Le cas où, x étant fini, le nombre X serait infini, mérite une attention 



spéciale. Dans ce cas, si à la première des formules (5) on substitue l'équa- 

 tion 



(il). a- = e , 



les intégrales «, v, w,... des formules (6) seront encore, sous lès conditions 



énoncées, et pour des valeurs de t voisines de t» des fonctions monodromes 



et monogènes de t; mais on ne pourra pas en dire autant des intégrales se, 

 f, z,... qui ne resteront monodromes et monogènes que si les exposants 



fX, V,... 



sont des nombres entiers. 



» Lorsque, en suivant la marche ici tracée, on aura constaté que les inté- 

 grales jr,^-, z,... des équations (i) sont, du moins entre certaines limites 

 du module de t — t, des fonctions monodromes et monogènes de la va- 

 riable t, on pourra évidemment appliquer à ces intégrales les théorèmes 

 généraux que j'ai déduits du calcul des résidus, spécialement le théorème 

 énoncé à la page 212 du tome XXXII des Comptes rendus; on pourra en 

 conséquence développer ces intégrales en séries, les décomposer en frac- 

 tions simples ou en facteurs simples,... ; et ces développements, ces décom- 

 positions pourront s'effectuer pour des valeurs quelconques de la va- 

 riable t, si les intégrales x,f, z,... ne cessent jamais d'être monodromes et 

 monogènes. Enfin, les formes des développements resteront les mêmes, 

 quelle que soit la valeur attribuée à t, si, pour toute valeur finie de t, les 

 intégrales a.', y, z,... sont non-seulement monodromes et monogènes, mais 

 encore finies, et par conséquent synectiques. 



w Lorsque les intégrales x, jy, z,... ne restent pas toujours monodromes 

 et monogènes, on peut chercher à établir entre ces intégrales et de nou- 

 velles inconnues u,v,w,... des relations simples, mais telles que u, v, tv,... 

 soient des fonctions toujours monodromes et monogènes de la variable t. 

 Montrons en peu de mots comment ce nouveau problème peut être résolu. 



» Concevons, pour fixer les idées , que les équations (i) soient remplacées 



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