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 transformation, tel que nous l'avons posé en commençant. Mais nous 

 allons présenter la relation obtenue entre les fonctions et 6, de différents 

 modules, sous une forme analytique, mieux appropriée aux considérations 

 qui nous restent à développer. 



» Nous ferons, dans ce but, la substitution suivante : 



X = X+ hi -{- gll^ J ^:y ^ g'z -^7ui, ^ 



et nous poserons 



C (•^"' "J 5 ':> 'S g-, fh g') =6{cc-{-hz-h ga, y+-g'z-{- hn) ; 



remplaçant ainsi la fonction 6 aux deux arguments x etj'-, par la fonction Ç, 

 qui dépendra de x, y, *, a. Cela posé, soient 



0% = a^x + ^oy + Coi -fr cIqU,, cT = fli-x -t- ij/y^ + C,z + Jja, 



2j = a^x -\- b^y -^ C^z -h (it'''j 'O = a^x -\- b^y -+- c^z. -h d^a , 



on trouvera aisément ces relations importantes : 



Zo4-Gzs + H ^s = SG + GtD + H5ô, 



z, -4- Hz, + G'zj = 3" + HtD + G'Ji, 

 Zo «3 -t- Zi Zj + * (Z3,zj) = a3(^, + HJb + GT3)(.ï-t- ht-i-giL) 



+ è3i(X + H5i-}-GO) U^-+-g'z.+ hu.) 

 -ha,(ïï + G'^-hll'0)(x-hhz-hgJ} 

 -hb,(^-h G'^-h HO) l'f + g'z-h hw). 



» Pour abréger l'écriture, représentons par y^ cette expression de 

 ZoZi + 31^2 + ^(^3, 2-2 ), et convenons de mettre en indice à la fonction Ç 

 les valeurs des nombres •«, ", p, q, qui figurent dans la fonction dont elle 

 dérive, nous aurons alors ce nouvel énoncé des théorèmes de transfor- 

 mation : 



» Les quatre fonctions représentées par 



^"'^^,v,,,,,(^'S'.^'«'G,H,G'), 



le nombre i pouvant recevoir les valeurs o, i, 2, 3, s'expriment par des 

 Jonctions entières homogènes , et du degré k des quatre quantités ana- 

 logues 



C.»..p,<,, (•"'^'"'"'S''^'S^')• 

 ZeJ modules g, h, g' dépendent de G, H, G' parles équations (i4), § VH, et 



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