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 en k faisant suivre de l'une des quatre suivantes : 



X = oc, I ^ ~~^ '^J 



Y = y, II P "^ ^'''' 



11 = ku, . I U = kii, 



X^ka:, ' I X=^kx, 



. Y = ix + v, 1 Y = ku, 



m. { „ _ , IV. { ^ 



Z Ai, j Z = /x + t'^ + i, 



u = /'x — îi + ,t, l u = i"x 4- Lj 4- u, 



où /, i', i" désignent des entiers positifs inférieurs à k, on pourra obtenir 

 dans toute sa généralité la substitution : 



tD = (Jj X + ^3 ^ + Cj i + rf, a, 



dont les coefficients sont assujettis aux relations fondamentales : 



aodt -+- b„c, — c„b, — d^a, = o, 

 flgrfj + bgCj — Cgb.2 — d^a^^^ o, 



«0 '^i -+- K<^i — ^0 ^3 — '^O ^3 = ^"» 

 ct,d^+biC2 — ^4^2 — d,a2= k^ 

 a, dî -f- b,Ci — c, bs — c^, «3 = o, 

 a2fi?3 H- ijCj — Cjè;, — c?2«3 = o. 



Cette proposition renferme, comme on voit, la théorie arithmétique de la 

 réduction des systèmes linéaires : 



flo bo Co do 

 a, b, c, df 



flj ^3 C, C^a 



en se fondant sur la notion d'équivalence qui a été nommée, par Eisenstein, 

 V équivalence à gauche des systèmes. En prenant, au contraire, l'équiva- 

 lence à droite des substitutions pour point de départ, on obtiendra les 



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