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substitutions ou systèmes réduits que j'ai donnés § II. On en conclut que 

 toutes les transformations des fonctions abéliennes qui répondent à un 

 nombre premier A:, résultent des transformations particulières où l'on 

 emploie les substitutions réduites I, II, III, IV, combinées avec les trans- 

 formations où figurent les substitutions (aa) au déterminant un. Or le 

 nombre des substitutions réduites étant i -h k-\- k^-h k^, on obtient pré- 

 cisément autant de transformations distinctes, dans lesquelles les fonctions 

 Ç (X, Y, Z, U) sont exprimées par des polynômes homogènes et de degré k, 

 contenant quatre des fonctions Ç(^c, ^, x, a). Nous n'avons plus ainsi qu'à 

 passer des fonctions Ç(X, Y, Z, U ), aux fonctions Ç (5G, ^, %, XD), les argu- 

 ments X-, 3", &, XD étant liés aux arguments X, Y, Z, U par les équations (22). 

 Or, en omettant les modules, pour abréger 1 écriture, la dépendance de 

 ces fonctions est exprimée par la relation : 



e''-^^Ç„ ^IX.,^,%,V)) = const.-C ' fX,Y,Z, U), 



dans laquelle . 



m ^/jt.a(,-h va, + pa-i-h qa^ -+- «o^s + <^ifZ2 



n = pt|3o + v|3, + /JjS^ H- 7/83 4- i'îo/Sa + p, /32 



' (mod. 2). 



^ =(i.yo + vy, +/J72 + 773 + 7o7a + 7« V^ ' 



Cela posé , si l'on a 



\n^^lJ., n^v, f^p, <|^<7 (mod. a), 



la fonction Ç se trouvant changée en elle-même, la combinaison de cette 

 transformation avec celles qui correspondent aux substitutions réduites 



ne donnera point de formules nouvelles. Mais si les nombres m, tt, f, (\ 



ne coïncident pas tous avec ij., v, p, q, la combinaison de cette transfor- 

 mation aura évidemment pour effet de permuter les expressions des 

 diverses fonctions Ç, dans les formules de transformation relatives aux 

 substitutions réduites. 



» On est amené parla à une considération entièrement semblable à celle 

 qui a été présentée par Abel dans la théorie des fonctions elliptiqtios, et 



