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 série, en les déduisant des valeurs connues de t, ^ à l'aide de l'équation 

 donnée et de ses dérivées des divers ordres, et en laissant d'ailleurs arbi- 

 traire la constante ^, on en a conclu que toute équation différentielle du 

 premier ordre entre x et t admettait une intégrale générale , et que cette 

 intégrale se trouvait représentée par la série de Taylor, c'est-à-dire par la 

 somme de cette série, les coefficients étant déterminés, comme on vient de 

 l'expliquer, en fonction de t et de la constante arbitraire |. Toutefois, les 

 considérations précédentes ne donnaient pas la certitude que l'on eût effec- 

 tivement intégré l'équation proposée, ni même que cette équation admît 

 une intégrale. Car, d'une part, on ne démontrait pas généralement que 

 la série obtenue fût convergente, et l'on sait que les séries divergentes 

 n'ont pas de sommes; d'autre part, une série même convergente qui pro- 

 vient du développement d'une fonction , effectué à l'aide de la formule de 

 Taylor, ne représente pas toujours la fonction dont il s'agit. L'intégration 

 par série pouvait donc être illusoire. Pour transformer cette intégration en 

 >une méthode exacte et rigoureuse, il était nécessaire d'examiner sous quelles 

 conditions et entre quelles limites les séries trouvées étaient convergentes. 

 Ces deux questions ont été traitées dans les Mémoires ci-dessus rappelés ; 

 et, dans le dernier de ces Mémoires, les conclusions auxquelles l'auteur est 

 parvenu, se trouvent exprimées comme il suit : 

 » Représentons par 



S, 5C), cJ, jo, ... 

 des fonctions de 



qui restent finies monodromes et monogènes dans le voisinage des valeurs 



attribuées à 



et concevons que l'on assujettisse x, y, z, . . . à la double condition de 

 vérifier, quel que soit t, les équations différentielles comprises dans la 

 formule 



dt dx dy dz 



'^) g" ~ "SG "~ "g" "~ "&" ~ * " ' 



et de se réduire à Ç, ïj, Ç, ... pour t =^t. Si 5 ne s'évanouit pas quand on 

 prend 



t = T, x = ^, jr = ri, z=Ç, ...; 



