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 alors, à laide des théorèmes établis dans le Mémoire de 1 835 5«r l'intégration 

 des équations différentielles, on prouvera qu'il est possible de satisfaire^ au 

 moins quand le module de la différence t — t ne dépasse pas une certaine 

 limite, aux deux conditions énoncées, par des valeurs de x,y,z, ... qui 

 seront développées en séries convergentes, et qui représenteront les intégrales 

 générales des équations différentielles données. Il j a plus : on peut affirmer 

 que, dans Ihypothèse admise, ces intégrales générales seront les seules 

 valeurs de x,j,z, .... qui, variant avec t par degrés insensibles , rempliront, 

 pour un module suffisamment petit de t — ■:, les deux conditions énoncées. 

 Enfin, comme les divers termes des séries obtenues seront des fonctions 

 monodromes, monogènes et fuies de la variable t, on pourra en dire autant 

 des valeurs trouvées des variables x, y , z,..., ou même d' une fonction 

 monodrome, monogène et finie de ces variables. 



» Ajoutons que les séries dont il est ici question ne se réduisent à des 

 séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la différence t — t 

 que dans le cas particulier où les fonctions S, SC, 3", 56, ... deviennent indé- 

 pendantes de la variable t. Dans le cas où ces fonctions renferment la 

 variable /, les divers termes des séries obtenues, cessant d'être proportion- 

 nels aux diverses puissances de ^ — t, sont fournis par des intégrations 

 successives, et, par suite, ils peuvent revêtir des formes mieux appropriées 

 à la solution des problèmes. Ainsi, par exemple, en astronomie, on obtient 

 le plus ordinairement des séries ordonnées , non suivant les puissances 

 ascendantes du temps, mais, ce qui est bien préférable, suivant les sinus et 

 cosinus des multiples de certains arcs proportionnels au temps. 



» Enfin, l'auteur du Mémoire de i835 ne s'est pas borné à établir, dans 

 l'hypothèse admise, l'existence des intégrales générales d'un système 

 d'équations différentielles. Il a encore fixé des limites entre lesquelles le 

 module de la différence t — t peut varier, sans que les séries obtenues 

 cessent d'être convergentes, et des limites au-dessous desquelles s'abaissent 

 nécessairement les erreurs que l'on commet quand on arrête chacune des 

 séries obtenues après un certain terme. 



» IjB théorème sur lequel se sont appuyés MM. Briot et Bouquet, poin- 

 établir, dans l'hypothèse admise, l'existence des intégrales générales d'un 

 système d'équations différentielles, est précisément celui qu'a donné l'auteur 

 du Mémoire de i835. Mais à ce théorème et à quelques autres qui pour- 

 raient se déduire de propositions déjà connues, MM. Briot et Bouquet ont 

 joint des résultats qui leur sont propres^ et qui méritent d'être cités. 

 Entrons à ce sujet dans quelques détails. 



