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 i> La recherche de fonctions de t qui, représentées par x, y, z,... aient 

 la double propriété de vérifier un système d'équations différentielles et 

 d'acquérir des valeurs données ^, ïj, Ç,... pour une valeur donnée x de la 

 variable t, peut être généralement réduite au cas où les valeurs données 

 T, Ç, ïj, Ç,... de t, X, j, Zj... s'évanouissent. Il suffit, en effet, pour opérer 

 cette réduction, de substituer aux variables ^, x^ y, z,... d'autres variables 

 /,, x^, y^, z,,... liées aux premières par des équations de la forme 



Cela posé, soient t, x deux variables dont la seconde, considérée comme 

 fonction de t, doive s'évanouir pour une valeur nulle de i, et satisfaire, 

 quand t varie, à l'équation différentielle 



, . dt dx 



S, 36, désignant deux fonctions finies, monodromes et monogènes des va- 

 riables ^, X. Si e ne s'évanouit pas avec <, d'après ce qui a été dit ci-dessus, 

 l'équation (a) admettra, pour des valeurs de i suffisamment petites, une 

 seule intégrale monodrome et monogène propre à remplir les deux condi- 

 tions énoncées. Il y a plus : le développement de cette intégrale en série 

 ordonnée suivant les puissances ascendantes de t sera précisément celui 

 auquel on sera conduit par la formule de Taylor, jointe à l'équation (2). 

 Mais il en sera autrement, si E s'évanouit avec t. Supposons, pour fixer les 

 idées, que l'on ait précisément 



e = ^ 

 L'équation ( 2 ) sera réduite à 



(3) <D,j:=3G, 



et, puisque x doit s'évanouir avec <, la fonction X devra s'évanouir avec 

 les deux variables t, x. D'ailleurs, étant monodrome et monogène, elle sera 

 développable en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et 

 entières de ces variables, en sorte qu'on aura 



(4) X: = ax + bt^ rf{x,t\ 



a, b désignant les valeurs des dérivées D^SG, D,3& pour des valeurs nulles 

 des variables t, x, et <f{x, t) une fonction dont le développement se com- 

 posera de termes qui seront tous, par rapport à ces variables, d'un degré 



