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 supérieur au premier. Si la fonction (p{cc, t) s'évanouit, on aura simplement 



( 5 ) S(i = aoc -^ bt, 



et l'équation (3), réduite à la formule 



(6) tBt x =^ ax -h bt, 

 sera vérifiée, quand on posera 



(7) -^ = 7^ + ^^"' 



c désignant une constante arbitraire. La valeur de x, fournie par l'équa- 

 tion (7), est l'intégrale générale de l'équation (6), et la constante c qu'elle 

 renferme peut toujours être déterminée, quand on donne une valeur parti- 

 culière S, de X correspondante à ime valeur particulière t de la variable t, 

 à moins que la valeur z de t ne s'évanouisse. Dans cette dernière supposi- 

 tion, qui est précisément celle que nous avons adoptée, on doit prêter une 

 attention spéciale au signe qui affecte la partie réelle du paramètre a. Lors- 

 que cette partie réelle est négative, t" devient infini pour une valeur nulle 

 de t, et la seule valeur de x, qui remplisse la double condition de vérifier 

 l'équation (6) et de s'évanouir avec t, est celle qu'on obtient en posant dans 

 la formule (7) c = o, c'est-à-dire la fonction monodrome et monogène 

 de f, donnée par la formule 



(8) x = -^. 



^ ^ I — a 



Au contraire, lorsque la partie réelle de a est positive, t" s'évanouit toujours 

 avec t, et par suite on satisfait aux deux conditions énoncées, en supposant 

 la valeur de x donnée ou par la formule (8) ou même généralement par la 

 formule (7). Ainsi, dans ce cas, la seconde condition, par laquelle x est 

 assujetti à s'évanouir avec x, ne détermine plus la constante arbitraire, et 

 cette constante ne cesse pas d'être arbitraire dans l'intégrale particulière, 

 qui se confond alors avec l'intégrale générale. 



» Dans le cas spécial où le coefficient a se réduit à l'unité, le rapport — — - 



devient infini, et pour conserver à x une valeur finie, il faut attribuer une 

 valeur infinie â la constante c. Pour savoir ce que devient alors l'intégrale 

 de l'équation (6), posons d'abord a = i + a, a étant une quantité infini- 

 ment petite; l'équation (7) deviendra 



COL — b ^ ^t — I 



t+cat 



a 



4^. R., i855, i*-- Scmettie. (T. XL, N» II.) "jZ 



