( 563 ) 

 l'expression de la constante arbitraire c, on trouvera 



bt 



X — 



(i^) c= , 



et, pour que cette expression se réduise à la forme -•, quand .r et t acquer- 

 ront des valeurs particulières, il faudra que ces valeurs particulières s'éva- 

 nouissent et que la partie réelle du paramètre a soit positive. 



» Pareillement, si de la formule (g), qui représente l'intégrale générale de 

 l'équation (lo), on tire l'expression de la constante arbitraire C, on trouvera 



et pour que cette expression se réduise à la forme -> quand tetx acquer- 

 ront des valeurs particulières, il faudra que ces valeurs particulières s'éva- 

 nouissent. 



» Les diverses propriétés que nous a offertes celle des intégrales de l'équa- 

 tion (6) qui s'évanouit avec f, continuent de subsister, comme l'observent 

 MM. Briot et Bouquet, quand on revient de l'équation (6) à l'équation (3), 

 X, étant une fonction monodrome et monogène qui s'évanouit avec les varia- 

 bles xe.lt dont elle dépend. Alors, a étant toujours la valeur qu'acquiert la 

 dérivée D^oX, pour des valeurs nulles de t et x^ l'Intégrale particulière dont 

 il s'agit renferme encore une constante arbitraire, et par suite elle se confond 

 avec l'intégrale générale quand la partie réelle de a est positive ou nulle ; 

 mais elle redevient complètement déterminée, quand la partie réelle de a 

 est négative. Dans tous les cas, si le coefficient a ne se réduit pas à un nom- 

 bre entier, l'intégrale particulière dont il s'agit ou l'une de ses valeurs sera 

 une fonction monodrome et monogène de t, pour un module de t inférieur 

 à une certaine limite. La marche qu'ont suivie MM. Briot et Bouquet pour 

 démontrer cette assertion mérite d'être remarquée. Ils commencent par faire 

 voir qu'on peut réduire l'équation (3) à une autre de même forme, mais 

 dans laquelle le coefficient a, c'est-à-dire la valeur de Da;5G correspondante 

 a des valeurs nulles de x et < se trouve diminuée d'autant d'unités que l'on 

 voudra; puis, après avoir abaissé la partie réelle de a au-dessous de zéro, ils 

 font servir la formule de Taylor, jointe aux dérivées de l'équation (3), au 

 développement de x en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes 

 de <, et comparent la série ainsi obtenue à celle qui représente le dévelop- 

 pement de la racine x d'une certaine équation entre x et t. A l'aide de celte 



73.. 



