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 comparaison, ils prouvent la convergence du premier développement poui* 

 un module suffisamment petit de la variable t, assignent au module de t une 

 valeur au-dessous de laquelle ce module peut varier d'une manière quel- 

 conque, sans que le développement cesse d'être convergent, et concluent 

 sans peine qu'il représente alors une intégrale monodrome et monogène de 

 l'équation (3). 



» Nous avons cru devoir fixer particulièrement l'attention des géomètres 

 sur la partie du Mémoire de MM. Briot et Bouquet qui concerne l'intégrale 

 monodrome et monogène de l'équation (3), parce que cette partie, qui ne 

 laisse rien à désirer pour la rigueur des démonstrations, nous paraît la plus 

 neuve et la plus importante. Toutefois nous ne saurions passer sous silence 

 d'autres résultats obtenus par MM. Briot et Bouquet, résultats d'autant plus 

 intéressants qu'ils se rapportent à l'équation générale 



(i5) 'DtX = î[x,t), 



qui renferme l'équation (3) comme cas particulier. 



» En supposant la variable x assujettie, i" à vérifier l'équation (i5), 

 2° à prendre une valeur donnée pour une valeur donnée de t , par 

 exemple à s'évanouir avec t; en supposant d'ailleurs que la fonction f (jJ, t) 

 reste monodrome et monogène dans le voisinage de valeurs très-petites 

 attribuées aux variables x, <, mais cesse de l'être quand ces valeurs s'éva- 

 nouissent; MM Briot et Bouquet recherchent les propriétés de l'inté- 

 grale X, d'abord dans le cas où la fonction i{x, t) devient infinie pour des 

 valeurs nulles de x et /, puis dans le cas où ces valeurs réduisent la 



fonction f (a:, <) à la forme — Pour y parvenir, ils intègrent par approxima- 

 tion l'équation (i4)i i l'aide du procédé qui consiste à négliger avant l'inté- 

 gration les quantités finies vis-à-vis des quantités infiniment grandes, et 

 les quantités infiniment petites vis-à-vis des quantités finies. En opérant 

 ainsi, ils établissent aisément un théorème que l'on peut réduire à la propo- 

 sition suivante : 



M Lorsque, pour des valeurs nulles de jt, t, la Jonction {{x^t) devient in- 

 finie, la fonction inverse j- r demeurant monodrome et monogène, du moins 



entre certaines limites, la variable x assujettie à s'évanouir avec t, se réduit 

 sensiblement, pour de très-petites valeurs de t, à la racine d'une équation 



binôme du degré m-\-\,m étant le degré de la première des dérivées de j-, — -■, r 



relatives à x, qui ne s'évanouit pas quand on pose x = o, t = o. 



