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» 11 résulte de ce théorème que, dans l'hypothèse admise, l'intégrale .r 

 lie sera point une fonction monodrome et monogène de la variable t. 



» Lorsque la fonction f (a:, <,) est le rapport de deux fonctions qui 

 restent, du moins entre certaines limites, finies, monodromes et monogènes, 



et se présente, pour des valeurs nulles de x et <, sous la forme - j la première 



question à résoudre est de trouver, pour des valeurs infiniment petites 

 de t, l'ordre de l'intégrale x, devenue elle-même infiniment petite. Cette 

 question, admettant plusieurs solutions, donne lieu à une discussion inté- 

 ressante. Mais cette discussion même, ainsi que les formules et la construc- 

 tion géométrique, appliquées par MM. Briot et Bouquet à la recherche des 

 solutions diverses, ont une analogie évidente avec la discussion, les for- 

 mules et la construction géométrique, que M. Puiseux avait, dans son 

 beau Mémoire sur les fonctions algébriques, appliquées aux racines d'une 

 équation dont le premier membre est une fonction de deux variables, dans 

 le cas où la dérivée de ce premier membre s'évanouit avec lui pour des va- 

 leurs données de ces variables. Il y a plus: comme, t étant infiniment petit, 

 la variable a?, supposée elle-même infiniment petite et fonction de <, sera 

 généralement du même or/ire que le produit «D^x, on peut affirmer qu'alors 

 la dérivée HfX sera généralement de l'ordre du rapport 



X 



7' 

 Donc, trouver l'ordre de l'intégrale x assujettie à vérifier l'équation (i 5) et à 

 s'évanouir avec t, revient à trouver l'ordre de la racine x de l'équation 



(.6) f=f(^,0, 



et le problème ci-dessus mentionné peut être ainsi ramené à celui qu'a traité 

 M. Puiseux. 



» Si l'on considère la variable t comme un infiniment petit du premier 

 ordre, l'ordre de l'intégrale x de l'équation (i5), calculé comme on vient 

 de le dire, sera généralement un nombre fractionnaire. Après avoir déter- 

 miné cet ordre, MM. Briot et Bouquet prouvent qu'à l'aide d'une substitution 

 convenable on peut réduire l'intégration de l'équation (i5) à la recherche 

 de l'intégrale x de l'équation (3). On doit toutefois excepter un cas par- 

 ticulier où après la réduction on obtient, à la place de l'équation (i 5), une 

 équation de la forme 



(17) «'"D,a: = x, 



m étant un nombre entier, et ^ s'évanouissant quand xe.lt s'évanouissent. 



