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D'ailleurs, comme le remarquent MM. Briot et Bouquet, la valeur de x assu - 

 jetlie à vérifier l'équation (17), et à s'évanouir avec t, n'admet pas en géné- 

 ral, mais seulement sous certaines conditions, une"^ intégrale monodrome 

 et monogène. 



» A la fin de leur Mémoire, MM. Briot et Bouquet présentent quelques 

 considérations générales sur l'intégration d'une équation différentielle entre 

 deux variables t, .r, dans le cas où le second membre est une fonction impli- 

 cite de ces variables. Ici encore il peut arriver que le second membre soit ou 

 ne soit pas, dans le voisinage des valeurs originairement attribuées à a- et ^, 

 une fonction finie, monodrome et monogène. L'intégrale jc sera toujours, 

 dans la première hypothèse, monodrome, monogène et finie, et pourra ne 

 l'être plus dans la seconde hypothèse. Le cas où le second membre de l'équa- 

 tion différentielle est une fonction implicite de la seule variable x, mérite une 

 attention spéciale. Au reste, ce cas, déjà traité dans les Comptes rendus 

 de 1846, a été, comme le remarquent MM. Briot et Bouquet, étudié avec 

 soin par M. Puiseux dans le Mémoire ci-dessus rappelé. 



» Au travail dont nous venons de rendre compte, MM. Briot et Bouquet 

 ont récemment annexé une addition qui a pour titre : Note sur un théorème 

 de M. Cauchy relalij à l'intégration des équations différentielles. 



» Le théorème dont il s'agit est précisément celui que nous avons rappelé 

 au commencement de ce Rapport, en nous servant, pour l'énoncer, des 

 termes mêmes employés dans le Mémoire sur l'application du calcul infini- 

 tésimal à la détermination des fonctions implicites. Lorsque, pour étabhr 

 ce théorème, on suit la marche tracée dans le Mémoire de i835, en l'ap- 

 pliquant à une équation différentielle, entre t et x, la première des deux 

 limites assignées au module du terme général du développement de l'inté- 

 grale a:, est, comme la seconde, le terme général d'une série connue; cette 

 série étant, non plus une progression géométrique, mais le développement 

 d'une racine d'une certaine équation du second degré. 



» D'ailleurs cette remarque, qui n'était pas énoncée dans le Mémoire de 

 i835, subsi.ste dans le cas où le second membre de l'équation différentielle 

 renferme non -seulement la variable x, mais aussi la variable t. 



» Appliquée à une seule équation différentielle, la démonstration que 

 MM. Briot et Bouquet donnent du théorème cité, suppose l'intégrale x dé- 

 veloppée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la va- 

 riable t, la valeur initiale de t étant réduite à zéro. Ils déterminent directe- 

 ment la fonction dont le développement a pour termes les limites des modules 

 des termes compris dans le développement de l'intégrale; et, s' appuyant sur 

 un théorème général, rappelé dans la séance du 11 janvier de cette année, 



