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 seulement monodrome et monogène, mais encore finie, les racines c, c', c",.. . 

 appartiendront toutes à l'équation (5); par suite, les exposants h, h', h",... 

 seront tous positifs ; et comme h désignera le nombre des racines égales à c, 

 h' le nombre des racines égales à c',..., la somme 



k + h'-hh" + ... = k 



exprimera le nombre total des racines égales ou inégales de l'équation (5), 

 propres à représenter les affixes de points situés à l'intérieur de l'aire S. 

 D'ailleurs on tirera de la formule (8) 



(.7) >t=M, 



^ ' ■> 7.1:1 



et ini est précisément la variation intégrale de \z correspondante à un 

 mouvement direct de rotation du point mobile P autour d'un cercle qui 

 aurait pour centre l'origine des affixes. En conséquence, on peut énoncer 

 la proposition suivante : 



» I" Théorème. Soit z l'affixe variable d'un point mobile P; soit en- 

 core Z une fonction de z qui reste monodrome, monogène et finie dans le 

 voisinage de tout point situé à l'intérieur d'une certaine aire S ou sur le 

 contour de cette aire, et qui ne s'évanouisse en aucun point de ce contour. 

 Pour obtenir le nombre de celles des racines égales ou inégales de l'équa- 

 tion 



Z = o, 



qui seront les affixes de points situés à l'intérieur de l'aire S, il suffira de 

 faire décrire au point mobile P, 1° le contour de l'aire S; 2° la circonfé- 

 rence d'un cercle qui aura pour centre l'origine des affixes; et de chercher 

 le rapport des variations intégrales que subiront, dans le premier cas, le 

 logarithme ÏZ de la fonction Z, dans le second cas le logarithme îz de la 

 variable z. 



» Il est bon d'observer que le théorème précédent continue de subsister 

 quand on fait correspondre chaque variation intégrale, non plus à un 

 mouvement de rotation direct, mais à un mouvement de rotation rétrograde 

 du point mobile P autour de l'aire S ou du cercle qui a pour centre l'ori- 

 gine des affixes. Ajoutons que si, s étant la surface du cercle qui a pour 

 centre l'origine, on désigne les deux variations intégrales par les deux nota- 

 tions 



AsîZ, aJz, 



