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RAPPORTS. 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. —Rapport sur un Mémoire de M, Edmond Bour, 



concernant l'inte'gration des équations dijférentielles de la mécanique 

 analytique. 



(Commissaires, MM. Lamé, Chasles, liouville rapporteur.) 



« L'Académie nous a chargés, M. Lamé, M. Chasles et moi, de lui faire 

 un Rapport sur un Mémoire de M. Edmond Bour, élève ingénieur des Mines, 

 concernant l'intégration des équations différentielles de la mécanique ana- 

 lytique. On sait qu'avec deux intégrales quelconques (a), (/3) de ces équa- 

 tions, Poisson a formé une combinaison (a, j3) dont il a prouvé que la va- 

 leur est indépendante du temps, de sorte que, si la quantité (a, ]3) ne se 

 réduit identiquement ni à zéro ni à une constante, on a, en l'égalant à une 

 constante arbitraire, une intégrale des équations différentielles proposées. 

 Le théorème de Poisson fournit donc, comme l'a observé Jacobi, une mé- 

 thode d'intégration singulière qui pourra quelquefois faire connaître suc- 

 cessivement toutes les intégrales au moyen de deux d'entre elles données 

 d'abord. Mais il peut arriver aussi qu'on ne trouve par là qu'un nombre 

 très-limité d'intégrales distinctes. Il se peut même qu'on n'en ajoute aucune 

 aux deux (a),(P) dont on part. Il en sera, par exemple, toujours ainsi 

 quand l'une d'elles est celle des forces vives et que l'autre ne contient pas 

 le temps; car alors on a identiquement (a, |3) = o. 



» Mais Jacobi nous avertit et M. Bour prouve, dans son Mémoire, 

 que, dans les cas où la méthode d'intégration indiquée plus haut échoue, il 

 y a souvent un autre parti à tirer des intégrales connues , pour achever ou 

 du moins pour pousser plus loin l'intégration. Déjà l'un de nous l'avait 

 montré dans les Cours du Collège de France en i853 et dans une Note 

 présentée au Bureau des Longitudes le ag juin de la même année, mais 

 pour le seul cas où l'on possède la moitié des intégrales. C'est en effet par 

 des équations comme (a, |3) = o, que l'on exprime les conditions d'intégra- 

 bilité exigées par Poisson pour la détermination d'une fonction qui , de 

 suite, fournit alors les intégrales restantes (*). M. Bour pénètre plus profon- 



(*) M. Adrien Lafon a inséré mon théorème (en me citant et en le démontrant à sa manière) 

 dans une thèse remarquable pour le doctorat es sciences, imprimée l'an dernier. Je le retrouve 

 encore dans un Mémoire de M. Donkin, qui vient de paraître dans les Transactions Philoso- 

 phiques de la Société royale de Londres; mais le Mémoire de M. Donkin n'est daté que da 



