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MATHÉMATIQUES. — Sur la théorie de la transformation des Jonctions 

 ahéliennes ; par M. Ch. Hermite. (Suite : §§ XYI et XVII.) 



« XVI. — Parmi ces diverses transformations, celles qui correspondent 

 aux quatre types de substitutions réduites, lorsqu'on y suppose égaux à 

 zéro les nombres entiers j, î', i", méritent une attention particulière. On voit 

 alors ^ en effet, se présenter immédiatement la notion importante des 

 transjorinations supplémentaires , qui, sous le point de vue le plus général, 

 résulte de la cinquième des propositions arithmétiques données § III. Les 

 substitutions que nous allons ainsi considérer^ dans les théorèmes de trans- 

 formation, seront les suivantes : 



y Alors on trouve que la forme quadratique désignée par ;^, § XIV, s'éva- 

 nouit, et que les nombres caractéristiques i»,, n,-, p,-, ^i,, sont respective- 

 ment égaux à p.i, V,-, /?,-, 9, (*j. Écrivant donc, pour abréger, Çj au lieu de 

 Ç et introduisant les modules transformés dans la fonction où se 



fait la substitution relative aux arguments, on aura cette proposition ; 

 » Les quatre /onctions représentées par chacun de ces quatre tjpes [**) : 



I. Ç<(«>«fi ^^1 ^"-^ j/^j j^i J^'j' 



II. ^i[^,ky, ,, k.^lG, H, A- G'), 



III. Çi(>{x,^,A., a, AG, H, jG'), 



IV. Çi(Ax,Ay,., a, AG, AH, AG'), 



s'expriment par des polynômes entiers homogènes et du degré k, composés 



(*) Cette dernière circonstance peut toujours être réalisée à l'égard de toutes les substi- 

 tutions réduites. Rien n'empêche , en effet , de prendre pour chacun des nombres désignés 

 par (', i', i" un système quelconque de résidus suivai^t le module X- , au lieu des résidus minima 

 o, I, 2, . . . / — i. Or, en faisant choix des X^ .nombres pairs o, 2, 4, • • • 2(X- — i), on voit 

 immédiatement qu'on aura ; 



i«i,S(i„ ";^v„ ^i'^Pi, c^i^qi, mod2. 



{**) On peut remarquer que les transformations relatiyes aux fon(^ions I et IV corrw- 



