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 des quatre fondions 



^i («> -y» '■l'^i ^1 H, G')- 



Cela posé, il est clair qu'en appliquant l'une après l'autre les transforma- 

 tions relatives aux fonctions I et IV ou II et III, on parviendra de ces deux 

 manières à l'expression de 



Ç,- (Ax, /r-y^, Ai^a, G, H, G'), 



par des polynômes entiers homogènes et du degré k^, contenant les quatre 

 fonctions aux mêmes modules, 



Çi («» vj^j'^i g, h, G')- 



Revenons maintenant des fonctions Ç aux fonctions de deux arguments 

 dont elles tirent leur origine, nous obtiendrons le théorème fondamental de 

 la multiplication des transcendantes ahéliennes, à savoir que les quatre 

 fonctions 0,- [kx, kj) sont des polynômes entiers, homogènes et du degré k^ 

 composés des quatre jonctions Qi[a:^j). 



» XVII. Les formules de multiplication pour les quotients quadruplement 

 périodiques, provenant de la division de deux fonctions 0, découlent natu- 

 rellement des théorèmes qui viennent d'être établis. Seulement il importe 

 de préciser les divers groupes de trois quotients, qui correspondront respec- 

 tivement aux divers groupes de quatre fonctions 0,- dont les nombres carac- 

 téristiques /ui,, V|-, ^j, qt sont assujettis aux conditions 



ifJ^o + P'i + 1^2 -+- P'a ^ 0> Vo+ V, -f- V2+ Va^O, 

 /^o -+-/')+ ^3 + /^s^o, 9o+ ?i -l-?2+ îs^Oj [mod. 2. 

 So+ Sf-\- Si-\- S^^i o, 



» Je me fonderai, pour cela, sur la distinction de ces quotients en deux 

 genres bien différents, telle que l'a faite M, Veierstrass, non-seulement 

 pour les fonctions ahéliennes du premier ordre que nous considérons en 

 ce moment, mais pour celles d'un ordre quelconque (*). Les quotients 



pondent parfaitement à ce que Jacobi nomme dans la théorie des fonctions elliptiques, trans- 

 formatio prima , moduli majoris in minorem, et transformatio secundo minoris in majorein. 

 (Fundamenta, page 56,) 



(*) Voyez Journal de M. Crelle , tome XL VII , ou dans le Journal de M. Liouville (traduc- 

 tion de M. Wœpcke ) , le Mémoire dans lequel ce savant géomètre a donné un aperçu de ses 

 grandes et belles découvertes. 



C. p.. i855, I" Semestre. 'T. XL, N" 13.} 92 



