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 i849 devant l'Académie et dans le Journal des Savants m'en fournit l'oc- 

 casion. Vous avez trouvé dans les écrits d'un ancien arpenteur romain une 

 solution en nombres entiers de l'équation x^ + jr"^ z= z*, et vous l'avez rat- 

 tachée aux règles connues de Platon et de Pythagore. J'ai rencontré cette 

 même solution de Nipsus au commencement du Traité des nombres carrés 

 de Léonard de Pise (Fibonacci) , édité par M. le prince Boncompagni, dont 

 les savants et heureux travaux ont été l'objet d'une communication faite 

 par M. Chasles à l'Académie en iSSa (*). Fibonacci part de cette belle pro- 

 priété , d'après laquelle une suite de nombres impairs consécutifs, dont le 

 premier est l'unité, a toujours pour somme un carré ; mais il donne en- 

 suite d'autres solutions plus générales. Ce qui m'a surpris, c'est qu'il ne 

 mentionne d'autre auteur qu'Euclide, et surtout qu'il rapporte une de ces 

 solutions comme se trouvant dans le X* livre d'Euclide. J'ai voulu vérifier 

 l'exactitude de cette citation et j'ai vu qu'en effet , dans le premier des deux 

 lemmes qui précèdent la proposition XXX du X* livre (trad. de Peyrard, 

 tome II, page i83), Euclide se propose de trouver deux nombres carrés dont 

 la somme soit un carré, et que sa solution revient à ce qui suit. Soient x 

 eXj deux nombres plans semblables , pairs ou impairs tous les deux : leur 

 produit sera un carré a*, et l'on aura 



/ x+yy (x+yy 



formule qui résout la question. Il est facile de s'assurer que cette solution 

 est la plus générale possible 



» Fibonacci emploie entre autres expressions les valeurs x = 2 aè, 

 y = a^ — b', z = a^ -h b' qu'ont employées Bachet de Méziriac et Frénicle 

 pour la construction des triangles rectangles. 



j> Il donne la formule élégante 



{a^ + b^) (a^-f-^*) = (fla±i|3)^ + (fl/3 + a*)», 



et en déduit quelques théorèmes sur le nombre des décompositions d'un 

 entier en deux carrés. 



» Toutes ses propositions sont suivies d'une démonstration dans laquelle 

 il s'aide d'une figure géométrique. Il y a dans son ouvrage des recherches 

 très-ingénieuses et très-remarquables. Il somme plusieurs suites de carrés 

 dont les racines forment une progression arithmétique, et résout plusieurs 



(*) Séance du 14 juin. (Voir Comptes rendus, tome XXXIV, page 889.) 



