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» On regardera sans doute ce fragment de l'algèbre arabe comme un des 

 documents irréfragables qui attestent l'intelligence avec laquelle les Arabes 

 ont cultivé les sciences mathématiques et les progrès qu'ils y ont faits. 



» Qu'on nous permette, en terminant cette communication, une remar- 

 que qui, au point de vue historique, pourra ne pas paraître dénuée de tout 

 intérêt : c'est que dans la traduction de M. Sédillot le théorème du carré de 

 l'hypoténuse est appelé la proposition de V épousée, absolument comme dans 

 les ouvrages hindous, où l'on a trouvé que la figure qui sert à démontrer 

 cette célèbre proposition d'une manière intuitive s'appelle figure de la 

 fiancée. » 



MATHÉMATIQUES. — Sur la théorie de la transformation des fonctions 

 abèliennes ; par M. Ch. E^rsiite. (Suite et fin : § XVIII.) 



a XJi'^III. — C'est aux résultats précédents que je me suis arrêté jusqu'ici 

 dans l'étude de la transformation des fonctions abèliennes , et je vais ter- 

 miner cet exposé succinct de mes recherches, en faisant voir comment cette 

 théorie analytique de la transformation se trouve étroitement liée à la 

 théorie arithmétique des formes quadratiques dont j'ai parlé § IV. Repre- 

 nons le théorème du § XIV, consistant en ce que : Les quatre fonctions 

 représentées par 



e'"'^ (5C.,?T,2,,t), G,H,G'), 



si l'on attribue a l'indice i les valeurs o, 1,2, 3, s expriment au moyen de 

 fonctions homogènes et du degré k, des quatre quantités 



les modules g, h, g' dépendant de G, H, G', par les équations ( 1 4) du^ VII, . 

 et les arguments 3G,3',Jô,0,</ea:,^,»,a, par celles-ci : 



!X:= Oqxi -+- boy ■+- C(,z. ■+- dou,, 

 ÎT = fli» ■+• biy -)- Cl r -h «?, a , 

 i = a,<c-(- O,^ 4- Cjr-(- rfja, 

 O = a,œ -+- ij^ -4- C3 i H- <i,a. 



Or à cette relation ainsi formulée entre les transcendantes Ç, de différents 

 arguments et de différents modules, correspond la relation arithmétique 

 que donne le théorème suivant : 



