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 ville, à onze équations différentielles remarquables dont les intégrales sont 

 monodromes et doublement périodiques. 



» Je me suis proposé le problème général : « Trouver l'équation diffé- 

 » rentielle à laquelle satisfait une fonction doublement périodique quel- 

 y> conque monodrome et monogène. » 



» J'ai reconnu que, m désignant luie fonction de z doublement périodique 

 monodrome et monogène, et m le nombre d'infinis qu'elle présente dans 

 l'intérieur de chaque période, ou, ce qui revient au même, le nombre de fois 

 qu'elle passe par la même valeur dans l'intérieur de chaque période, cette 

 fonction vérifie nécessairement l'équation du premier ordre 



U,... U,„ étant des fonctions rationnelles de m; cette équation est irréduc- 

 tible, et son dernier terme U^ est une fraction rationnelle dont le numéra- 

 teur est une constante ; ces circonstances se présentent dans les équations 

 données par MM. Briot et Bouquet. 



» Les coefficients U, . . . U^ peuvent du reste être facilement calculés à 

 l'aide d'une formule donnée par M. Cauchy pour la décomposition des 

 fractions rationnelles en fractions simples. ( Exercices de mathématiques , 

 année 1826.) 



» La méthode employée pour parvenir à cette équation peut, si je ne me 

 trompe, être appliquée avec succès toutes les fois qu'il s'agit de reconnaître 

 si une fonction d'une variable est rationnelle, ou non; elle sera rationnelle 

 si, étant toujours continue monodrome et monogène, elle présente un nom- 

 bre limité d'infinis, et si, pour une valeur infinie du module de la variable, 

 elle prend une valeur unique et déterminée finie ou infinie, et ne le sera pas 

 dans tous les autres cas. On peut trouver ainsi très-facilement les équations 

 qui déterminent la division des fonctions elliptiques et reconnaître leurs 

 propriétés. J'espère pouvoir bientôt présenter à l'Académie quelque chose 

 de plus sur la nature des coefficients U,... U^. » 



^Bemarque de M. Caucht. 



» L'équation différentielle donnée par M. Méray fournira effectivement 

 pour M une fonction de z. monodrome et monogène, si,- n étant un nombre 

 entier, D^m est, en vertu de cette équation, un infiniment grand, dont l'or- 

 dre p. soit de l'une des formes 



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I 1 I, 1 -I-- 



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