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Or, si l'on réduit la fonction f ( Z, z) au premier membre de la formule (5), 

 alors des conditions (21), (22), (aS) la seconde sera la seule que l'on puisse 

 vérifier en posant z=c_, Z=:C, et même pour qu'elle se vérifie alors, il sera 

 nécessaire que la constante a s'évanouisse, ou, en d'autres termes, que, z — c 

 étant une quantité infiniment petite du premier ordre, Z — C soit une quan- 

 tité infiniment petite d'un ordre supérieur. Cela posé, le théorème II en- 

 traînera évidemment la proposition suivante : 



» V Théorème. Si une fonction Z de zse réduit pour z = c k une con- 

 stante finie C, et reste monodrome et monogène pour des valeurs de z voi- 

 sines de c ; réciproquement z considéré comme fonction de Z, et assujetti à 

 prendre pour Z :=:^ C la valeur finie c, sera, pour des valeurs de Z voisines 

 de c, monodrome et monogène, pourvu que, z — c étant un infiniment 

 petit du premier ordre, Z — Csoit encore un infiniment petit de cet ordre. 



» Lorsque dans l'équation (a4) 1^ constante finie C diffère de zéro, on 

 peut développer en série convergente ordonnée suivant les puissances 

 ascendantes de z — c, non-seulement la fonction Z, mais aussi la fonction 



- et par suite l'intégrale . ■^''' 



Jc ^' 



En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante : 



» VP Théorème. Lorsqu'une fonction Z de z se réduit pour z = c à. une 

 constante finie C distincte de zéro, et reste monodrome et monogène pour 

 des valeurs de z voisines de c, l'intégrale 



(.6) ri 



est elle-même, pour des valeurs de z voisines de c, une fonction monodrome 

 et monogène de z . 



M Supposons maintenant la variable z liée à la variable t par une équation 

 de Ifi forme 



(27) ' B,z = Z, 



Z étant une fonction implicite de z déterminée par la formule (17). Si, t 

 étant une valeur particulière et finie de t, on nomme c la valeur correspon- 

 dante de l'intégrale z de l'équation (27), on aura 



■"dz 



r 



z='-'- 



Cela posé, on déduira immédiatement des théorèmes IV et VI la proposition 

 suivante : 



