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 » VIP Théorème. Si, f (Z, z) étant une fonction toujours inonodrome 

 et monogène des variables z, Z, on suppose Z lié à z par la formule 



(17) f(Z,^) = o, 



l'intégrale z de l'équation différentielle 



(27) D,z = Z 



ne pourra cesser d'être une fonction monodrorae et monogène de t qu'au 

 moment où l'on aura 



(28) z = -, 



ou bien encore au moment où, des deux fonctions 



(29) Z, D^f(Z,z), 



l'une acquerra soit une valeur nulle, soit une valeur infinie. 



» Corollaire I*"". Si f (Z, z) est une fonction entière de z et de Z, alors, 

 en nommant m le degré de la plus haute puissance de z dans f(Z, z), on 

 aura 



{3o) f (Z, z) = PZ'" + QZ'"-* + . . . + UZ^ + VZ-^W, 



P,Q,...,U,P^,Pf^étaint des fonctions entièresde la seule variable z. Alorsaussi 

 la dérivée D-g f (Z, z) étant elle-même une fonction entière des variables z, Z 

 ne pourra devenir infinie que pour des valeurs infinies de ces variables ou 

 de l'une d'entre elles ; enfin la valeur de Z fournie par l'équation 



f(Z,z) = o 



ne pourra devenir infinie, si z reste finie, qu'au moment où le coefficient P 

 s'évanouira; et, quand Z sera nul, on aura nécessairement Pf^= o. Donc 

 alors l'intégrale Z de l'équation (27) ne pourra cesser d'être une fonction 

 monodrome et monogène de t qu'au moment .où cette intégrale vérifiera 

 l'une des trois conditions 



(28) z='-, (3i) P = o, (32) ;F=o, 



ou bien encore la condition fournie par le système des deux équations 



(33) f (Z, z) = o, D^ f(Z, z) - o. 



» Remarquons d'ailleurs que le cas où le premier membre f(Z, z) de 

 l'équation (17) serait une fonction rationnelle des variables Z, z, peut tou- 

 jours être ramené au cas où ce premier membre est une fonction entière, 



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