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 une Jonction inonodrome et monogène de z et Z, on obtient une équation 

 qui, résolue par rapport à Z, offre, pour une certaine valeur c de z, 

 n racines égales entre elles, chacune de ces racines pourra être développée 

 suivant les puissances ascendantes d'une nouvelle variable dont une puis- 

 sance entière sera précisément égale à z ■— c. La méthode suivie par 

 M. Puiseux fournit successivement les divers termes dont se composent les 

 développements des racines, et embrasse, en raison de cette circonstance 

 même, une série d'opérations dont le système, soumis à une discussion 

 lumineuse, amène définitivement le théorème ci-dessus énoncé. Mais la 

 grande utilité de ce théorème et les nombreuses applications qu'on en peut 

 faire étaient un motif de désirer qu'on pût en donner une démonstration 

 rapide et simple. D'autre part, toute fonction d'une variable indépendante, 

 qui reste monodrome, monogène et finie, quand on attribue à la variable un 

 module inférieur à une certaine limite, est alors développable en une série 

 convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable ; 

 et réciproquement, la somme d'une série de ce genre est monodrome et 

 monogène tant qu'elle demeure convergente. Donc, pour démontrer le 

 théorème de M. Puiseux, il suffît d'établir, comme je vais le faire ici, la 

 proposition suivante. 



» Théorème. Soit ({Z, z) une fonction qui s'évanouisse quand on at- 

 tribue aux variables z, Z les valeurs particulières c, C, et qui, pour des 

 valeurs voisines, demeure monodrome et monogène. A. celles des racines 

 égales de l'équation 

 (i) HZ,c) = o, 



qui ont pour valeur commune la constante C, correspondront des racines 

 de Téquation 



(2) f(Z,z) = o, 



qui, pour une valeur infiniment petite de z— c, offriront des valeurs de Z 

 très-voisines de C. Nommons Z, l'une de ces racines, et Z^, Z3,..., Z„ 

 celles qui lui sont associées comme termes d'une même substitution circu- 

 laire du degré n, en sorte que l'accroissement ^n attribué à l'argument de 

 la variable z transforme Z, en Z^, Z^ en Z3,..., Z„_, en Z„, et Z„ en Z,. 

 Si l'on pose 



(3) z — c = u", 

 chacune des racines 



Z,, Zj,..., z„ 

 sera une fonction monodrome et monogène de la variable u, dans le voi- 

 sinage d'une valeur nulle de cette variable. 



