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 » Démonstration. Chacune des racines 



étant une fonction monodrome et monogène de z, et à plus forte raison 

 de u, dans le voisinage de toute valeur de z très-voisine dec, mais distincte 

 de c, par conséquent dans le voisinage d'une valeur de u très-voisine de 

 zéro, mais distincte de zéro, il reste seulement à montrer que ces racines 

 sont encore des fonctions monodromes et monogènes de u dans le voi- 

 sinage d'une valeur nulle de u; et, pour le prouver, il suffit de faire 

 voir que chacune d'elles et sa dérivée relative à z reprennent leurs va- 

 leurs primitives, quand l'argument p de u croît de la circonférence an. 

 Or effectivement, en vertu de la formule (3), si l'on fait croître n fois 

 de suite l'argument p de la quantité 



n 

 l'accroissement correspondant de z — c sera chaque fois égal à ^n ; donc 

 la racine Z, sera successivement remplacée par Zj, puis par Z3,..., puis 

 par Z„, puis elle reprendra sa valeur primitive, quand l'accroissement dé- 

 finitif et total de p sera le produit de — par n, c'est-à-dire 271. Ajoutons 



qu'on pourra en dire autant de la dérivée de Z,, attendu que la dérivée 

 de Z est généralement liée aux variables z, Z par la formule 



dans laquelle le dénominateur D^f^Z, z) diffère de zéro quand on attri- 

 bue k z — c et à. Z — C, non plus des valeurs nulles, mais des valeurs 

 infiniment petites. 



» Si, z — c étant considéré comme infiniment petit du premier ordre, 

 Z — C est un infiniment petit de l'ordre fractionnaire 



/ 

 ' m 



m étant premier à /, le nombre n sera évidemment égal à m ou à un mul- 

 tiple de m. 



» A cette remarque on peut joindre encore'la suivante. 



» Si iV représente le nombre de celles des racines de l'équation (2) qui, 

 associées les unes aux autres dans une où-plusieurs substitutions circulaires, 

 se réduisent à C pour z = c, on pourra toujours réduire ces N racines à des 

 fonctions d'une nouvelle variable «, qui, pour de très-petites valeurs de u, 

 restent monodromes et monogènes ; et, pour y parvenir, il suffira de poser 



(5). z-c = u", 



■tf. 



