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)a notation 



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exprimant l'indice intégral de - entre les limites s = s', s = /', c'est-à-dire 



la somme des indices du rapport - correspondants aux divers points où la 



ligne MN rencontre l'axe des x. D'autre part, comme, en désignant par a, b 

 deux quantités algébriques et supposant 



(8) c = a + ii, 



on aura 



cz = ax — bf + [aj + hx)\, 

 on tirera encore des formules (5) et (7), 



(9) ^j^^Al(c.) + M(-cz) /g |-._^-|rV 



s- s' 

 puis on en conclura, en posant c = i, 



(10) Aîz = ^n^^) + ^n-^^) _ Ci (l\ 



Des formules (7) et (10), comparées l'une à l'autre, on déduit immédiate- 

 ment l'équation 



(l,) ^ |'f)+ 3 (y^\ Alfiz) + Al(-iz)-AU-Al(-z) ^ 



dont le second membre dépend uniquement des affixes z', z" des points M, N 

 et conserve la même valeur, quelle que soit la nature de la ligne droite ou 

 courbe décrite par le point mobile P. Le premier membre doit donc être lui- 

 même indépendant de la nature de cette ligne. En effet, si l'on désigne par u 



ou le rapport- ou une fonction réelle quelconque de l'arc .y, assujettie à varier 



avec cet arc, tant qu'elle ne devient pas infinie, par degrés insensibles, et si 

 l'on nomme m', u" les valeurs de « correspondantes aux valeurs s\ s" de *, 



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