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 drome et monogène dans le voisinage d'un point quelconque de l'aire S, 

 le compteur logarithmique, déterminé par l'équation (19) ou (20), est la 

 différence des deux nombres qu'on obtient en cherchant combien de 

 racines, représentées par des affixes de points renfermés dans l'aire S, appar- 

 tiennent d'une part à l'équation Z = o, d'autre part à l'équation - = o. 



» Ajoutons que, si la fonction Z se décompose en deux facteurs U, /^, dont 

 le second ne devienne jamais nul ni infini en aucun point du contour de 

 l'aire S, on pourra, dans la recherche du compteur logarithmique, sub- 

 stituer la fonction U kla fonction Z. 



» Ajoutons encore que, si, le contour de l'aire S étant composé de diverses 

 parties, les parties correspondantes de la variation intégrale Alz sont deux 

 à deux égales au signe près, mais affectées de signes contraires, le compteur 

 logarithmique (S) se réduira simplement à zéro. 



» ]3e la première remarque jointe au premier théorème, on conclut immé- 

 diatement [voir la page 658] que toute écjuation algébrique du degré n admet 

 n racines réelles ou imaginaires , égales ou inégales. 



» De la seconde remarque jointe au second théorème, on déduit immé- 

 diatement une proposition établie par M. Liouville, qui est relative aux fonc- 

 tions doublement périodiques, et que l'on peut énoncer comme il suit : 



» 3*= Théorème. Soient z l'affixe d'un point mobile, et x, j" deux coor- 

 données rectangulaires ou obliques mesurées sur deux axes qui, passant par 

 le pôle, forment avec l'axe polaire les angles ç et /, en sorte qu'on ait 



(21) z= i^X+ i^ j. 



Soit, de plus, Z une fonction monodrome et monogène de z, qui ne 

 varie pas quand on attribue à la variable x l'accroissement a, ou à la va- 

 riable j" l'accroissement b. Si l'on nomme S l'aire d'un parallélogramme 

 dont les côtés, représentés par a et /;, soient respectivement parallèles aux 

 axes des x et des^, et ne renferment aucun point dont l'affixe soit racine 

 de l'une des équations 



Z=o, ^ = 0, 



le nombre des points pour lesquels se vérifiera la première équation, sera, 

 dans l'intérieur du parallélogramme, égal au nombre des points pour les- 

 quels se vérifiera la seconde. 



» Je joindrai ici une dernière observation. Si Z est une fonction entière 

 de z du degré n, on pourra, en opérant comme je l'ai fait dans le Mémoire 



