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 de i83i, déduire de la formule (19), jointe aux équations (12) et (i3), le 

 nombre m des racines de l'équation Z = o correspondantes à des points 

 renfermés dans l'aire S, lorsque le contour de cette aire se transformera en 

 un polygone rectiligne ou curviligne dont chaque côté sera ou une ligne 

 droite ou un arc de cercle. Toutefois, si l'on suit la marche indiquée dans le 

 Mémoire cité, alors, dans chacune des fractions rationnelles dont les indices 

 serviront à déterminer le nombre m, les deux termes, réduits à des fonc- 

 tions entières d'une seule variable, seront généralement du degré n quand 

 il s'agira d'un côté rectiligne du polygone, et du degré 2 n quand un côté 

 se transformera en un arc de cercle. Les principes ci-dessus exposés per- 

 mettent de réduire, dans le second cas, le degré 2 n au degré n. Pour mon- 

 trer comment cette réduction s'opère, concevons que, Z étant une fonction 

 entière de z du degré n, on demande le nombre m de celles des racines de 

 l'équation Z = o qui correspondent à des points situés dans l'intérieur du 

 cercle qui a pour rayon le module r, et pour centre le point dont l'affixe 

 est c. Pour chacun des points situés sur la circonférence de ce cercle, l'affixe 

 z sera de la forme 



z = c -h rp= c -h reP', 

 et, en posant 



t = tang -? 



n 



i — n 



on aura 



(22) z = c ■ 



Cela posé, si l'on prend 



(a3) T={i-ti)''Z, 



T sera évidemment une fonction entière de t du degré n. D'ailleurs on 

 pourra aux limites — ;:, + n de la variable p faire correspondre les limites 

 — 00, -1-00 de la variable t; par conséquent, l'équation (19) jointe à 

 l'équation (23) donnera 



(24) m = p^ -S 



chaque variation intégrale s'étendant à toutes les valeurs de t comprises 

 entre les limites t = — oo , < =: oc . Mais on aura entre ces limites 



Ar(i- fi) — Al(i-d) = - Tri = - i. 



