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 d'après La grange,- 



(i) {\ -\-q') r— -ipqs + {i +p'^) t = o. 



» Monge a trouvé le premier l'intégrale générale de l'équation (i); cette 



intégrale est le résultat de l'élimination des quantités a et ê entre les trois 



équations 



( ■r-?'(«)+4''(ê), 



(p et t|i désignent deux fonctions arbitraires, dont nous indiquons les déri- 

 vées par des accents, à la manière de I^agrange. 



» La méthode employée par Monge pour intégrer l'équation (i) est loin 

 d'être satisfaisante; aussi Legeudre a-t-il jugé utile de reprendre la ques- 

 tion, et il a fait connaître, dans les Mémoires de l'académie des Sciences 

 pour 1787, une méthode rigoureuse qui le conduit aisément au résultat. 

 Après avoir établi les équations (2), Legendre ajoute : « Si l'on cherche la 

 » surface la moindre entre deux lignes droites données non situées dans le 

 » même plan, soit m la plus courte distance de ces lignes, X l'angle 

 » qu'elles font entre elles; on pourra déterminer à priori la forme des 

 » fonctions cp et 1^, et il en résultera pour l'équation de la surface cherchée 



» réduite à la forme la plus simple, z = a? tang — • » 



» La surface dont il s'agit ici est l'hélicoïde gauche à plan directeur; 

 cette surface satisfait à la condition énoncée, mais elle ne constitue qu'un 

 cas particulier. Il y a effectivement une infinité de surfaces continues d'aire 

 minima, passant par deux droites données non situées dans le même plan, 

 et il est très-aisé d'obtenir toutes ces surfaces. 



» Nous poserons 



a = tangrt, \J — i — a^ =i — — > 



S = tang b, \!-i-¥ = ^Lzl , 



et nous prendrons a el b pour variables, à la place de a et ê. Au lieu des 

 fonctions arbitraires f (a) et ^ (ê), nous en prendrons deux autres $ [a) 

 eA W [b], telles que l'on ait 



(p (a) = tangrt / $ (a) cosada — / $ (a) sinada, 

 <^ (g) = tangè ["¥((>) cosbdb - fw [b] sinbdb; 



