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 les équations (2) deviennent alors 



!x=— C^{a) cosada ■+- Cw {b) co&bdb, 

 J = - f^{a) sinada - Cy {b) sinbdb, 

 z= V^ r<I>(rt)c?a + s/^ f'¥(b)db. 



» Supposons quelasurface représentée par leséquations (3) contienne une 

 droite parallèle au plan arr. En désignant par X un angle donné, on aura, pour 

 les points de cette droite, dx cosX — d/ sinX = et dz = o, ou, à cause 

 des équations (3), <i [a] da + ^ [b) db = oet cos(a —X) — cos{b —X) =0. 

 Cette dernière condition exprime que l'un des arcs a — b eta-h b — 2X est 

 égal à un nombre entier de circonférences, c'est-à-dire égal à ^kn. On ne 

 peut supposer a — b = "xkn; car il en résulterait dx = 0, djr = o,dz=: o; 

 d'ailleurs, comme l'angle donné X peut comprendre un nombre indéterminé 

 de circonférences, on a simultanément 



a-{-b = 2\, <^{a)-W{b) = o, 

 d'où 



(4) Y(A) = 4'(aX-i). 



» Si la surface (3) contient une deuxième droite parallèle au plan xy et 

 ayant pour équations dx cosX' — dj" sinX' =^ o,dz = o, on aura de même 

 simultanément 



«4-^'=2X', <i>{a)-W{b) = o, 

 d'où 



(5) ¥(A)=0(2X'-ft). 



» Les équations (4) et (5) donnent $ (aX — A) = ^(aX' — ^), ou, en 

 mettant 2X' — a, au lieu de b, 



(6) $(a + 2X-2X') = $(a). 



» L'une des équations (4) et (5) détermine la fonction arbitraire 'F par 

 le moyen de $, et, d'après l'équation (6), on voit que $ est une fonction 

 périodique arbitraire, dont la période est 2X — aX'. 



» La surface (3) peut contenir encore d'autres droites parallèles au 

 plan xj'. Soient, en effet, dx cosX" — dj- sinX" = o, dz = o, 1* équations 

 d'une pareille droite; il suffira que la fonction $ ait la période 2X — 2X". 

 Mais il faut alors que le rapport des périodes 2X — 2X' et 2X — 2X" soit com- 

 mensurable; si cela n'a pas lieu, la fonction $ se réduira à une constante : 

 ce cas est celai de l'hélicoïde gauche. 



