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 » Si l'on prend pour axe des z, la plus courte distance des deux droites 

 qui doivent être contenues dans la surface que nous considérons, les équa- 

 tions de ces droites, sous forme finie, seront x cosX — j' sinX = o, z = m 

 et X cosX' — ^ sinX' = 0,2 = m'. On peut écrire alors, comme il suit, les 

 équations de la surface cherchée, 



a?cosX — /sinX = 1 ^(a)cos(a — X)(/a, 



/ia 



X cosX'— j'sinX'= / (c() cos (a — X') ^«, 



J—h-\-1iX' 



z — m = \l — \ i <J>{a)da, 



avec la condition particulière 

 (8) m' — m — sf^ Ç ^{a)da. 



Si l'on fait X'= o, m' = o, et qu'on prenne pour $ («) une constante, 



m 



l'équation (8) donne $ (a) = ==^. il vient alors : 



d'où, en éliminant a et b. 



x = — p=(sinrt + sinil, r= =(cosfl -+- cosi), z— — (a+6), 



V — I ' 2^^— I *^ 



. ^ = Jtang^, 

 ce qui est l'équation de l'hélicoïde gauche. 



» Si , en second lieu, on faitX = - ? X' = o, m' = o , on pourra prendre 



(a) = — - — .+ - — cosag, A étailt une constante réelle; les équa- 

 tiens (7) donnent alors 



X = — i h A j (sin a + sinh) \/—ï — -5 (sin 3a + sin 3b) V— « , 



J = — i Aj (cosa + cosb) \J— 1 — ^(cos3a-f- cos3b))J—i, 



z = — (<2 4- ô) 4- A(sin2a + sin ai) ; 



on peut débarrasser ces formules des imaginaires qu'elles contiennent en 

 posant a = 7r + g + A ^— i , b = g — h \J— i . 



» Les équations (7) conservant une fonction périodique arbitraire, on 



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