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 solutions entières de l'équation 



(i) X» - j* = c, 



et d'en déduire toutes les sommes, chacune composée de nombres impairs 

 consécutifs, desquelles l'entier c peut être formé. Si ces simples observa- 

 tions peuvent être par vous, Monsieur, communiquées a l'Académie, j'en 

 serai très-honoré. 

 » Qu'on prenne 



c= a>'h'',h{K',...hl, 



où a, j3, 7,.... T représentent des entiers, tandis que A,, Aj, ha,..., h,, 

 expriment des nombres premiers. On sait que le nombre des décomposi- 

 tions de c en deux facteurs est donné par l'une ou l'autre des deux formules 

 suivantes : ^ 



i(fA + i)(a + ,)(P + 0--(T+0, 

 i[(fx + i)(a + i)(/3 + i) ...(t + i) + i], 



selon que des exposants fx, a, |3,..., t, pour le moins, un soit impair, ou 

 qu'ils soient tous pairs. Mais, pour résoudre en entiers l'équation (i), il ne 

 faut retenir que celles des décompositions indiquées qui résultent de fac- 

 teurs ou tous les deux pairs, ou tous les deux impairs. Donc, c étant pair, 

 et dans ce cas il devra être /x > i , le nombre des solutions de l'équation (1) 

 sera donné par les 



La première des lignes (2) exige qu'au moins un des exposants ^i., a, 

 j3,..., T soit impair, tandis que la seconde exige que tous soient pairs. 



» Mais si c est impair, le nombre des solutions de l'équation (i) sera, 

 donné par les 



v, = i(a + i)(^+i)(7 + i)...(T + i), 



(3) 



v* = ^[(a + 0(P + 0(7 + ■•■(^ + 0-1]; 



la première desquelles vaudra, si au moins un des exposants a, p,..., t. est 

 impair, et la seconde s'ils sont tous pairs. 



