( ii5a ) 

 » En outre 



(4) v, = a*-« 



sera le nombre des solutions entières de l'équation (i), lesquelles dérivent 

 seulement des décompositions de c en deux facteurs premiers entre eux. 

 Cette dernière formule a déjà été établie par M. Poinsot (*). Donc, le 

 nombre des solutions entières de l'équation (i) est toujours une fonction 

 connue, des exposants des facteurs premiers de c, sauf le cas de l'équa- 

 tion (4) où le même nombre dépend seulement de k. 



I) Enfin, par le théorème bien connu de Léonard Fibonacci, on a 



x^ = I + 3 + 5 + . . . 4- aa: — I , 

 j'= H-3 + 5-+-...+ a^ — I, 



par conséquent 



x'— j-* = 2 ^ +1+ 2J + 3 +-...+ aar —i; 

 donc, 



c — 1/ -hi-h ij -h 3 -h ajr -h S -{-...-+- IX —i^ 



c'est-à-dire : tout nombre c, excepté le double d'un impair, est autant de 

 fois représenté par la somme de x — jr nombres impairs consécutifs, en 

 commençant par aj- + 1 , et en terminant par a x — i , qu'il y a de solutions 

 entières pour l'équation x' — y' = c, le nombre desquelles est donné parles 

 (a), (3). Si c est carré, il y aura de plus la décomposition suivante : 



c=n-3-l-5+...+ av'c— 1. 



» Exemple. — Qu'on ait c = 960 = a*. 3. 5; sera jji = 6, a = i, j3 = i, 

 et par là v, = i o ; donc, 



d'où 



ar=a4i, 122, 64, 38, 3i, 53, 34, Sa, 46,-83, 

 ^= 239, 118, 56, 2a, 1,43,14, 8,34,77, 



2j -1-1= 479, 237, II 3, 45, 3, 87,29,17,69,155, 



2x —1= 481, 243, 127, 75, 61, io5, 67, 63, 91, i65, 



X —y= 2, 4» 8, 16, 3o, 10, 20, 24, 12, 6, 



(*) Comptes rendus, t. XXVIII, p. 582; 7 mai 1849. 



