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AJSALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire surwTce certaine classe de courbes ; 

 /Jrtr M. Roger. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires MM. Liouville, Lamé, Chasles.) 



« On peut imaginer, dans l'espace ou sur une surface déterminée, une in- 

 finité de trajectoires différentes qu'on peut faire parcourir à un mobile, sou- 

 mis à l'action d'un système donné de forces. Parmi ces trajectoires, j'ai 



considéré celles qui rendent minimum une intégrale de la forme / (f{v)ds, 



Jo 



(f, (y) étant une certaine fonction de la vitesse, supposée connue en fonction 

 des coordonnées seules du mobile , et s l'arc parcouru depuis le point de 

 départ. 



» Des courbes déjà étudiées à plusieurs points de vue rentrent dans la 

 classe que je viens de définir, et en forment comme des espèces particulières. 

 Les principales sont : i° les géodésiques, qui correspondent au cas de 



cp (p) = constante ; 2° les brachystochrones, pour lesquelles f {v) = -; 3° les 



trajectoires de moindre action, qu'on obtient en prenant (p(^v) = v : ces tra- 

 jectoires, d'après un principe bien connu, dû à Euler, sont celles que le 

 mobile est naturellement entraîné à suivre, sous l'action du système donné 

 de forces ; 4" enfin les lignes de plus grande pente, formant comme une 



espèce singulière, que j'ai trouvée correspondre au cas de -^7^ = o, quel que 



soit i>. 



» Les lignes appartenant à ces diverses espèces, et aux autres espèces de la 

 même classe qui n'ont pas encore reçu de définition ou pour mieux dire 

 d'appellation spéciale, jouissent, d'une part, d'un ensemble de propriétés 

 communes , de l'autre, de certaines propriétés particulières à telle ou telle 

 espèce, toutes propriétés dont l'étude m'a paru offrir de l'intérêt. Les résul- 

 tats les plus saillants que j'ai rencontrés dans cette voie sont les suivants : 



» I. Si l'on suppose, sur une surface donnée, une série de trajectoires de 

 même espèce, issues normalement d'une même courbe, et que l'on considère 

 sur chacune d'elles des arcs parcourus dans le même temps, la courbe formée 

 par les extrémités de ces arcs sera elle-même normale à chacune des trajec- 

 toires, si ces trajectoires sont des géodésiques ou des brachystochrones (1), 

 et dans ces deux cas seulement. 



(ij Ce théorème a déjà été démontré, pour les géodésiques par M. Gauss, et pour les 

 brachystochrones par M. Bertrand. 



