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de l'une de ses extrémités à l'autre ; mais il faut pour cela que l'arc dont il 

 s'agit soit compris entre certaines limites, qui ont été fixées par Jacobi de 

 la manière suivante : Considérons une ligne géodésique AM partant du 

 point A, et soit A' le point où cette ligne est rencontrée par une autre ligne 

 géodésique AM', infiniment voisine de AM et partant aussi du point A. 

 Entre le point A et le point A', la ligne AM sera toujours ligne minima; 

 mais au delà du point A', la ligne AM ne sera généralement ni ligne 

 minima ni ligne maxima. Ceci posé, appelons p la distance variable MM' 

 des deux lignes géodésiques infiniment voisines AM et AM'. D'après une 

 formule de Gauss, p considéré comme fonction de l'arc AM = s satisfera à 

 l'équation différentielle du second ordre 



ds^ ^ RR' ' 



où R et R' sont les rayons de courbure principaux de la surface ; de plus 



on aura p = o et -^ = l'angle dQ des lignes géodésiques AM et AM', pour 



j =: o, ce qui détermine entièrement p. 



» Supposons maintenant que la surface soit à courbures ^opposées, 



5^ sera négatif, et nous pourrons poser 



' ^ _I 

 RR' ^ «»' 



a étant une constante réelle. Prenons l'équation 



ds' a' "" ' 

 en l'intégrant de façon que p, =: o et -J^' := d6, pour j = o, il viendra 



Or, d'après un théorème démontré par M. Sturm dans son admirable 

 Mémoire sur les équations différentielles du second ordre, pour un inter- 

 valle quelconque compté à partir de i' = o, la valeur de p, doit s'annuler au 

 moins autant de fois que p ; mais p, ne s'annule jamais, donc p ne peut non 

 plus jamais devenir nul : ainsi dans une surface à courbures opposées, une 

 ligne géodésique est minima dans toute sa longueur. Ce beau théorème 

 avait été énoncé par Jacobi, mais il n'avait pas encore été démontré, que je 

 sache. 



