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 tin contour donné est exprimé par le compteur logarithmique. D'ailleurs, 

 ce compteur peut être déterminé à l'aide des indices des fonctions, et par 

 conséquent le dénombrement des racines qui satisfont à des conditions 

 données peut être réduit à la détermination de ces indices. Effectivement, le 

 calcul des indices fournit un moyen simple d'aborder, pour une équation 

 algébrique, les deux problèmes que j'ai résolus en i8i3 et en i83i, savoir: 

 le dénombrement des racines positives, des racines négatives, et des 

 racines réelles ou iniaginaires qui représentent les affixes de points renfer- 

 més dans un contour limité par des droites ou des arcs de cercle. 



« D'autre part, l'indice intégral d'une fraction rationnelle entre des 

 limites données peut se déduire, ou de la considération des polynômes que 

 fournit la recherche du plus grand commun diviseur algébrique entre les 

 deux termes de la fraction et des propriétés que possèdent ces polynômes, 

 spécialement de celles que M. Sturm a signalées le premier et appliquées 

 au dénombrement des racines réelles, ou, comme l'a fait M. Hermite dans 

 un Mémoire (*) qui m'a toujours paru digne d'être remarqué, de la considé- 

 ration de certaines équations d'une forme particulière et dont toutes les 

 racines sont réelles. 



» La méthode suivie par M. Hermite, et appliquée par lui-même au 

 dénombrement des racines réelles, évite les divisions. A la vérité, les 

 résultats immédiatement fournis par elle diffèrent au premier abord des 

 résultats plus simples que fournit la méthode de M. Sturm, quand, 

 avec M. Sylvester, on débarrasse chaque polynôme du diviseur constant 

 introduit par la division algébrique. Mais on peut revenir des uns aux 

 autres, et un artifice de calcul dont la simplicité a frappé M. Hermite 

 auquel je le communiquais, peut être utilement mis en oeuvre pour 

 cette transition que M. Hermite m'a dit avoir effectuée de son côté. D'ail- 

 leurs les principes sur lesquels s'appuie la nouvelle méthode se dédui- 

 sent avec facilité de plusieurs théorèmes déjà connus; on pourrait dire 

 qu'elle consiste dans l'emploi de théorèmes nouveaux qui sont des consé- 

 quences directes des premiers. J'ai cru qu'il ne serait pas sans intérêt 

 d'énoncer avec précision ces divers théorèmes, d'en simplifier, autant que 

 possible, les démonstrations, enfin d'appeler l'attention des géomètres sur les 

 rapports qui existent entre eux, sur l'extension qu'on peut leur donner, sur 



(*) Dans ce beau Mémoire, M. Hermite déterminait aussi le nombre des systèmes de 

 valeurs réelles de x et de / qui, étant comprises entre des limites données, vérifient deux 

 équations algébriques en x et /. 



