( i33i ) 

 les nombreuses applications auxquelles ils se prêtent. Tel est l'objet spécial 

 du Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie. Je me bornerai 

 pour l'instant à le résumer en peu de mots. 



» D'après la règle de Descartes, dans une équation dont le premier 

 membre est ordonné suivant les puissances descendantes de l'inconnue, le 

 nombre des racines positives est tout au plus égal au nombre des variations 

 de signe, et le nombre des racines négatives au nombre des permanences 

 de signe entre les coefficients des diverses puissances pris consécutivement 

 et deux à deux. 



» Si quelques coefficients s'évanouissent, chacun d'eux pouvant être à 

 volonté considéré comme positif ou comme négatif, le nombre des perma- 

 nences pourra dépendre des signes qui leur seront attribviés, et admettre, en 

 raison de cette dépendance, une valeur maximum ainsi qu'une valeur 

 minimum. La différence entre ces deux valeurs sera égale ou inférieure au 

 nombre des racines imaginaires (voir V Analyse algébrique, page 619), 

 pourvu toutefois que l'équation donnée n'ait pas des racines nulles. 



a De ce théorème fondamental on déduit immédiatement les deux pro- 

 positions suivantes, dont la première était connue depuis longtemps : 



» \" Théorème. Dans une équation algébrique dont toutes les racines sont 

 réelles et distinctes de zéro, les coefficients de deux puissances consécutives 

 de l'inconnue ne peuvent disparaître simultanément, et quand un coeffi- 

 cient s'évanouit, les deux coefficients voisins sont affectés de signes con- 

 traires. 



» IP Théorème. Représentons par 



des fonctions réelles et entières de X, la dernière X„ étant telle, que les 



racines réelles de l'équation 



(i) X„ = o 



comprises entre les limites x = x', x = x", soient des racines simples qui 

 ne réduisent pas X„_^ à zéro. Soit encore une fonction entière de x et ô 

 déterminée par la formule 



(2) 6= â« - X, ô«-< -+- X.S"-» -. . . -4- (- .)"-' X.-, Ô -f- (- \)"X„. 

 Si, pour toute valeur réelle de x comprise entre les limites a', x", 

 les n racines de l'équation 



(3) e = o, 



172.. 



