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RAPPORTS. 



analyse mathmatique. Rapport sur un Mmoire relatif au dveloppement 

 de l'exponentielle e x en produit continu; par M. Fedor Thomas. 



(Commissaires, MM. Liouville, Cauchy rapporteur.) 



Eiiler a fait voir que les sinus, les cosinus, et les fonctions dans les- 

 quelles ils se transforment , quand on remplace les arcs supposs rels par 

 des variables imaginaires, peuvent tre changs en produits composs d'un 

 nombre infini de facteurs, chaque facteur tant du premier degr par rap- 

 port la variable que l'on considre. De plus, M. Jacohi a dcompos cer- 

 taines transcendantes en produits de facteurs binmes qui sont encore en 

 nombre infini, mais de degrs reprsents par les nombres entiers i, 2, 3,.... 

 Enfin, dans un Mmoire sur les proprits de certaines factorielles (voir 

 les Comptes rendus , tome XIX, page 1069), l'un de nous a observ que 

 l'on peut, sous certaines conditions, dcomposer en facteurs binmes de 

 cette espce les fonctions qui se dveloppent en sries ordonnes suivant 

 les puissances ascendantes d'une variable. Alors, n tant un nombre entier 

 quelconque, les divers facteurs sont de la forme 



1 rit Nar", 



N tant un coefficient qui varie avec l'exposant n (*). 



M. Fedor Thotmn, en cherchant dvelopper en facteurs l'exponen- 

 tielle e T , a suppos que chaque facteur tait, non plus de la forme 



1 Nar B , 



(*) Si, pour fixer les ides, on dcomposait en facteurs de celte forme l'exponentielle e', 

 on trouverait, en supposant le module de * infrieur l'unit, 



,*=(,+*)(,+!) ('-y)--- 



Dans le second membre de cette dernire quation, les coefficients des diverses puissances 

 de x pourront tre aisment dduits les uns des autres, l'aide des formules (11) du 



Mmoire cit, en vertu desquelles le n' im ' facteur sera de la forme 1 , lorsque n sera un 



nombre premier gal ou suprieur 3. Ajoutons que, pour des valeurs paires ou impaires , 



( i) n 

 mais trs-considrables de n , le coefficient de x" sera le produit de par un nombre 



trs-peu diffrent de l'unit. 



