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analyse mathmatique. Mmoire sur la dcomposition des fonctions en 

 facteurs; par M. Augustin Cauchy. 



Dans un Mmoire prsent l'Acadmie le 18 novembre i844 j e me 

 suis occup de la dcomposition d une fonction s de la variable x en facteurs 

 de la forme i + Nx", n tant un nombre entier quelconque, et N un coef- 

 ficient qui dpend de l'exposant n. J'ai considr spcialement le cas o la 

 fonction s peut se dvelopper en une srie ordonne suivant les puissances 

 entires et positives de x, et j'ai indiqu deux mthodes qui sont propres 

 fournir la dcomposition dsire. Or, dans le cas dont il s'agit, ces deux 

 mthodes seront encore applicables, si l'on veut dcomposer la fonction s non 

 plus en facteurs de la forme i + N*", mais en facteurs de l'une des formes 



(i+ar") N , (i-x"f. 



Parmi les rsultats auxquels on parvient en oprant ainsi, on doit distinguer 

 ceux qu'on obtient lorsque , dans le dveloppement de 1 (s) suivant les puis- 

 sances entires et positivesde x, le coefficient de x" se dcompose en fac- 

 teurs correspondants aux divers facteurs premiers de l'exposant n. Alors 

 les quations qui fournissent la dcomposition de la fonction s en facteurs 

 se simplifient, et comprennent, comme cas particuliers, les formules remar- 

 quables que M. Fedor Thoman a donnes dans un Mmoire approuv par 

 l'Acadmie. 



ANALYSE. 



Soit s une fonction de x, dveloppable , au moins pour un module de x 

 infrieur une certaine limite, en une srie ordonne suivant les puissances 

 entires et positives de x , en sorte qu'on ail alors 



(i) . s = U +U t x-hH !t x i + .... 



Pour dcomposer s en facteurs de la forme (i -+- x") , ou, ce qui revient 

 au mme, pour trouver les valeurs de k { , k 3 , k, . . . , propres vrifier la 

 formule 



(2) j = H (i +x)'.(i + a: 1 )Mi + ^) , '-i 



il suffira de recourir l'une des mthodes indiques dans le Mmoire du 



