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or, l'analogie de cette formule avec celle qui sert à changer les variables 1 8 1 j. 



dans les intégrales doubles, est manifeste, de sorte que si l'on veut subs- 

 tituer les variables p et q aux variables x ety, on aura 



ff\J(rt — s*) dx dy =Jf\J dp dq; 

 d'où M. Rodrigue conclut que l'intégrale proposée est une fonction de 

 p et q , indépendante de l'équation de la surface, et dépendante unique- 

 ment des limites de l'intégration. 11 vérifie ce résultat en montrant que 

 la variation de cette intégrale ne renferme que des termes relatifs à ces 

 limites ■ il montre aussi qu'il existe dans tous les ordres de différences 

 partielles, des formules qui jouissent d'une semblable propriété. 

 Il considère ensuite spécialement l'intégrale 



(ri ■i— s 2 ) dx dy 



I 



(i+p + r)^ 



dans laquelle la quantité sous le signe Jf, représente l'élément de la 

 surface divisé par le produit des deux rayons de courbure principaux. 

 D'âpres ce qu'on vient de dire, elle est la même chose que 



H d P dq 



M {* + p 1 + rr 



Si l'on y change les variables p et q, en d'autres Xet Y, fonctions des 

 premières , elle deviendra 



et si l'on prend 



— x — r 



P 



on aura enfin 



ff 



dX d T 



\Z~i-X 1 — F 1 • 

 formule qui représente l'aire d'une portion de sphère dont le rayon est 

 égal à l'unité. 



Pour déterminer cette portion de sphère qui répond à une portion 

 donnée de la surface que l'on considère, M. Rodrigue donne cette cons- 

 truction : a Concevez une sphère d'un rayon égal à l'unité ; faites niou- 

 « voir son ra y on , ensorte qu'il soit successivement parallèle à toutes 

 « les normales de la portion de surface que vous considérez ; l'aire sphé- 

 « rique décrite par l'extrémité de ce rayon sera la valeur de l'inté- 

 <( grale. » 



S'il s'agit d'une portion quelconque de surface développable , le rayon 

 mobile ne décrira qu'une simple courbe, et l'intégrale sera nulle ; ce qui 

 est d'ailleurs évident, puisqu'on a alors rt — s 2 = o. Dans le cas d'une 

 surface fermée et convexe dans toute son étendue, telle qu'un ellipsoïde, 

 on aura 



• [r t — i a ) d x dy 



(i + p 2 + r) 



*-, 



