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De la différence entre les attractions exercées par une couche 

 infiniment mince sur deux points très- rapprochés l'un de 

 Vautre, situés ïun à V intérieur, ï autre à T extérieur de cette 

 même couche, par A. L. Cauchy , ingénieur des ponts et 

 chaussées. 



181 5. 



Institut. 

 Mars i8i5. 



On sait que l'attraction exercée par une couche infiniment mince Mathématiques. 

 sur un point très-rapproché d'elle a deux expressions différentes, suivant 

 que ce point est situé à l'intérieur ou à l'extérieur. On peut d'abord, 

 vu l'épaisseur infiniment petite de la couche, supposer celle-ci réduite 

 à une simple surface attirante, mais pour laquelle la force attrac- 

 tive en chaque point varieroit proportionnellement à l'épaisseur dont 

 il s'agit. Cela posé, si l'on considère deux points situés tout près de 

 la surface et sur une même normale, l'un au dedans, l'autre au dehors, 

 les actions exercées sur ces deux points suivant le plan tangent seront 

 égales entre elles, et les actions exercées suivant la normale différeront 

 d'une quantité égale au produit de quatre fois le rapport de la^ circon- 

 férence au diamètre par la force attractive de la sur) 'ace. En général la 

 différence des actions exercées suivant une direction déterminée sera 

 égale à la différence quon vient de citer multipliée par le cosinus 

 de V angle que forme cette direction avec la normale. On trouve une 

 démonstration synthétique de ce théorème dans le premier Mémoire 

 de M. Poisson sur l'électricité. Je vais faire voir comment on peut 

 le déduire des formules générales de l'attraction. 



Soient M et N les deux points donnés situés tout près de la surface 

 que l'on considère et sur une même normale, l'un à l'intérieur, l'autre 

 à l'extérieur. Soient x,, y,, z l} x % , y x , z> les coordonnées respectives 

 des points M et N rapportés à trois axes rectangulaires ; et supposons 

 que la normale menée par ces deux points coupe la surface en un 

 troisième point R, dont les coordonnées soient X, Y, Z. Enfin 

 désignons par E la force attractive au point R, et par x, y, z les co- 

 ordonnées variables de la surface. Si l'on représente par 



(1) 5-Z = P(*--X) + QCr— ' Y) 

 l'équation du plan tangent au point R, les coordonnées du point M 

 satisferont aux équations 



f *,— X + P(z, — Z) = o, 



l J. - Y + Q (*, - Z) = o. 



Soit encore l'angle formé par la normale avec une droite déter- 

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