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Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides ; 



par M. Poisson. 



J'ai inséré, dans le Journal de Physique du mois de juin, un ex- Mathématiques 



trait de ce Mémoire, où sont exposés en détail les principes sur lesquels 



le calcul est fondé, et la manière de parvenir aux équations difîércn- Institut, 



tielles de la distribution de la chaleur, soit à l'intérieur, soit à la Mai 181S, 



surface d'un corps solide de forme quelconque. Dans ce Bulletin , je 

 vais donner un exemple de l'analyse qui m'a servi à résoudre ces 

 équations: en réunissant ces deux extraits, on pourra prendre une idée 

 suffisante du Mémoire, qui paraîtra en entier dans un des prochains 

 volumes de l'Institut. 



Considérons le cas le plus simple , celui d'une barre cylindrique 

 d'une épaisseur assez petite pour qu'on puisse, sans erreur sensible, 

 regarder tous les points d'une même section perpendiculaire à l'axe, 

 comme ayant en même temps des températures égales. Soit x la 

 distance d'une section quelconque à un point fixe pris arbitrairement sur 

 l'axe; désignons parjy la température de cette section au bout d'un temps 

 quelconque / ; l'équation qui détermine y en fonction de t et x sera 



d JL = a » p. _ h y. 



dl dx % J 



a % et b sont des constantes essentiellement positives; la seconde serait 

 nulle s'il n'y avait pas de rayonnement à la surface de la barre; mais 

 dans tous les cas il est facile de faire disparaître le terme qui la ren- 

 ferme, en faisant la variable y égale à une nouvelle inconnue multi- 



— bt 

 pliée par e . Nous pouvons donc, sans restreindre la question, 

 nous borner à considérer l'équation 



dy d* y „■ 



d t dx* v J 



qui se rapporte au cas où le rayonnement extérieur est nul. 



Celte équation aux différences partielles du second ordre est com- 

 prise parmi celles qui ne comportent qu'une seule fonction arbitraire 

 dans leur intégrale complète, ainsi que je l'ai démontré autrefois par 

 la considération des séries. M. Laplace a depuis confirmé cette pro- 

 position, en intégrant cette même équation sous forme finie, au moyen 

 d'une intégrale définie. L'intégrale qu'il a donnée (*) est celle-ci: 



=/• 



y — I e q> (x + 2 a a \/ 1) d cl; 



(*) Journal de l'Ecole Polytechnique , quinzième cahier , page a/Ji. 



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