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<p désignant la fonction arbitraire , e la base des logarithmes népériens ? 

 et l'intégrale définie relative à « étant prise depuis et = — i ju'-qua 

 et = -f \. La fonction (p se détermine aisément d'après l'état initial de 

 la barre. En effet, si l'on suppose t=zo, il vient 



— <p x. J t 



y = <P x. I e d et —fx. \/ 7f 3 



cr représentant à l'ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre. 

 Soit donc 



la loi des températures à l'origine du temps /; nous aurons 

 et par conséquent à un instant quelconque 



i r —«* 



J = -pr^- je j(x + za a/ /) d*, 



La fonction désignée pai-y'est censée connue pour toute la longueur 

 de la barre ; elle n'est assujettie à aucune restriction : elle peut être 

 continue ou discontinue, nulle dans certaines parties, et avoir des 

 valeurs quelconques dans d'autres. Si la barre est d'une longueur in- 

 définie, il n'y a pas d'autre condition à remplir que celle de son état 

 initial : cette dernière valeur de jy renferme donc alors la solution 

 complète du problême, c'est-à-dire qu'elle fait connaître au bout d'un 

 temps quelconque la température de tel point de la barre qu'on 

 .voudra. 



Supposons, par exemple, que la barre n'ait été échauffée primiti- 

 vement que dans une petite portion qui s'étendait depuis x = o jusqu'à 

 as = l, et que dans toute autre partie, la température initiale était 

 nulle. Alors la fonction fx sera égale à zéro pour toutes les valeurs 

 de sa variable qui tombent hors de ces limites o et /; si donc on fait 



x+2aa)/t = x' , 

 ce qui donne 



a:' — x j d X 1 

 CC — v — - — , U Ct ==■ -r~z » 



on aura 



-, /* W* 



et comme f x' sera nulle pour toutes les valeurs de x' non comprises 

 entre zéro et 1 , il s'ensuit qu'il suffira de prendre l'intégrale relative 

 à x' depuis x' c= o jusqu'à i' — /» Si l'on considère un point de la 



