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f f f etc.f',f", etc., indiquant des fonctions dont chacune est 

 supposée nulle pour toute valeur de la variable plus grande que + /, 

 abstraction faite du signe. En effet, en faisant / — o, on a 



y = fx— /,(a/ — *) + .A(4'+*) — /3(6/— *)+.etc. 



-/' (-x-2/) +J" O-40-/"' (-x-6l) + etc., 

 et si l'on donne à x une valeur comprise enlre x= — 1 ei x~+ 1, ceite 

 expression se réduit ay=fx, de manière que j x exprime, comme 

 plus haut, la loi des températures iniliales dans toute l'étendue de la 

 barre, ou depuis x — —l jusqu'à x = +I. Les autres fonctions restant 

 arbitraires on en peut disposer pour rendre constamment nulles les 

 valeurs de y qui répondent à x = — / et à x = + Ij et pour cela 

 il est évident qu'il faut supposer toutes ces fonctions égales entre elles 

 et a la fonction f. Dans cette hypothèse, la valeur générale de y 

 pourra s'écrire ainsi : 



L 

 +/i>— 4/— 4 H+ 2acLy/t)—f(—x—2l — / i il+2acLy/t)l da; 



i représentant un nombre entier indéterminé, ou zéro, et 2 indiquant 

 une somme relative à i qui doit s'étendre depuis i = o jusqu'à /== 7. 

 Cette valeur de y ne renferme plus rien d'inconnu , et elle satisfait à 

 toutes les conditions du problême, de sorte qu'elle en renferme la 

 solution compl. te. 



La répétition de la fonction arbitraire, ou plutôt le partage de cette 

 fonction en une infinité de portions qui, à l'origine, répondent à diffé- 

 rens intervalles des valeurs de la variable x } est une considération 

 qui pourra être d'une grande utilité dans beaucoup d'autres questions. 

 En y réfléchissant, on verra qu'elle est tout à fait analogue à ce qui 

 se 



conditi( 

 arl 



de la corde. Dans la question présente, si les températures des points 

 extrêmes n'étaient pas fixes, mais qu'au contraire la barre émît de la 

 chaleur par ses extrémités, la même considération s'appliquerait en- 

 core, avec cette différence qu'alors les fonctions^ f 1 , f", elc.,f lf f 2 , 

 etc., ne seraient plus égales: elles seraient liées entre elles par nue 

 équation aux différences mêlées qui servirait à les déterminer toutes, 

 au moyen de la première. Les bornes de cet extrait ne me permettent 

 pas de considérer cet autre cas, dont on trouvera l'analyse complète 

 dans mon Mémoire. 



En représentant par une seule variable #', la quantité qui entre sous 



