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à la question présente, je suppose que la valeur initiale de z' soit 



z' =fx, 



qu'il s'agit de faire coïncider avec la valeur donnée par l'équation (5). 

 Or, en comparant celle-ci à l'équation (6), il est évident qu'on les 

 rendra identiques en prenant 



ge U da dcL 

 b = — a*, C = - -~ , 



fan — ah\ 



m c \e + e ) 



et changeant le signe 2 en une intégrale double relative à a et a, et 

 prise entre les limites qu'on vient d'assigner. De cette manière , la 

 valeur générale de <p, donnée par l'équation (4), prend la forme: 



a {h — z) a{z— h) 



<p = ^-.// = : — - .cos. (ax — aa.\ .fa. da da: 



où l'on a supprimé l'exposant infiniment petit a k, par rapport aux 

 exposans a (/z — z) et # (z — h). 



Cette formule renferme la solution complète du problême, car on en 

 déduit, par de simples diiférentiations par rapportai, z et t, les vitesses 

 horizontale et verticale du fluide en un point quelconque, la pression^ 

 que ce point éprouve, et l'ordonnée z de la surface; quantités qui seront 

 toutes exprimées sous forme finie, par des intégrales définies doubles. 

 Lorsque l'on considère les deux dimensions horizontales du fluide , 

 on trouve , par une analyse toute semblable à celle que je viens 

 d'exposer, une valeur de <f> exprimée par une intégrale définie qua- 

 druple. 



Si l'on suppose la profondeur h très- petite, et qu'on néglige ses 



:pressiou de <p et des quantités qi 

 voir en efîet dans mon Mémoire, et il est facile de vérifier, que la 

 valeur de z' devient alors 



dp 



z = 



Intégrant par rapport à t, puis diflerentiant par rapport à x, on a en: 

 même temps 



Ti = % = -wr- (*« + <•,*>-/(*-'•,*)>• 



d cr 

 d t 



Ces valeurs de l'ordonnée z! et de la vitesse horizontale ~tt r 



reviennent, pour le cas que nou considérons, à la solution que- 



