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Souvent compliqués et eu apparence bizarres , ïl suffit désormais de 1 o l 55 



considérer généralement des forces connues qui les produisent, ce qui 

 est incomparablement plus simple. 



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Wote sur une difficulté relative à Tintégration des équations 

 aux différences partielles du premier ordre; par M. Poisson. 



Lorsqu'on a une équation aux différences partielles du premier Mathématiques. 

 ordre, à trois variables et non linéaire par rapport aux différences, 

 on fait dépendre son intégration de celle d'une autre équation linéaire 

 et à quatre variables. L'intégrale de celle-ci renferme une fonction 

 arbitraire de deux quantités, ce qui semblerait devoir en introduire 

 une semblable dans l'intégrale de la proposée, laquelle ne doit ce- 

 pendant contenir qu'une fonction d'une seule quantité. Dans les 

 leçons sur le calcul des fonctions (*), M. Lagrange dit que cette 

 difficulté l'a long-temps tourmenté, et qu'il est enfin parvenu à la 

 résoudre, en employant un changement de variables au moyen duquel 

 il fait voir que la fonction double se réduit toujours à une fonction 

 simple -, mais cette méthode a l'inconvénient, ainsi que M. Lacroix Ta 

 rémarqué dans la seconde édition de son Calcul intégral (**), de 

 compliquer la forme générale de l'intégrale , qui se trouve alors re- 

 présentée par le système de trois équations, tandis que dans chaque 

 cas elle doit être exprimée par deux équations seulement. En suivant 

 une marche différente, on parvient, d'une manière qui me semble 

 plus directe, à lever complètement la difficulté dont nous parlons, 

 ou plutôt à montrer qu'elle n'est qu'apparente, et l'on a en même 

 temps l'avantage de conserver à l'intégrale la forme simple qu'elle 

 doit avoir : c'est ce que je me propose de faire voir dans cette note. 



Représentons l'équation proposée par 



f{x,y,z,P,q) = 0', (0 



p et q désignant les différences partielles de z par rapport à x et à y. On 

 tirera de là la valeur de p pour la substituer dans 



dz — pdx + qdy; (2) 

 et l'on disposera de la quantité q, qui reste indéterminée, pour rendre 

 intégrable cette valeur de dz. Or on sait que q devra alors être donnée 

 par l'équation 



dp dp dq dq ... 



dy dz ' dx dz r ? v J 



[*) Journal de l'Ecole Polytechnique, douzième cahier , page 3n, 

 (**) Tome II , page 555. 



