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 dans laquelle il faudra aussi substituer la valeur de p, et qui sera en' 

 x,y, zet q, l'équation auxiliaire dont nous venons de parler. 



L'intégrale de cette équation (3) dépend de trois équations diffé- 

 rentielles ordinaires que nous n'aurons pas besoin d'écrire ■ nous 

 représenterons leurs intégrales complètes par 



o=J\(x,j, z,q), b=j\( X} y ,z,q) % c=f, (x } y, z, q); (4) 



a, b, c étant les constantes arbitraires : l'intégrale générale de l'équa- 

 tion (5) sera 



a = n(b, c)y (5) 

 n désignant une fonction arbitraire. 



Supposons l'une des équations (4), la première, par exemple, résolue 

 par rapport à q; soit 



q = *\,{x,y, z, a) (6) 



la valeur qu'on en tire 3 substituons-la dans les deux autres équations r 

 ce qui donne des résultats de cette forme : 



b=^ t (x,y, z, a), c = ^ (x,y,z,a); 



substituons ensuite ces valeurs de b et c dans l'équation (5), nous aurons 



a = ï\ Q^ t (xVx>z> a), ^(x,y, z,a)^; (7) 



et nous pouvons dire maintenant que la valeur la plus générale de q 

 qui satisfasse à l'équation (3), et qui ait , par conséquent, la propriété 

 de rendre intégrable l'équation (2), est exprimée par l'équation (6), en 

 y considérant a comme une quantité donnée par l'équation (7). 



Cela posé, la valeur de a sera, ou une quantité variable dépendante 

 de la forme qu'on donnera à la fonction II, ou une constante arbi- 

 traire quand on prendra pour celte fonction une semblable constante. 

 Supposons d'abord que le second cas ait lieu ; concevons qu'on ait 

 intégré l'équation (2), après y avoir substitué, à la place de p et q,, 

 leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), et désignons son inté- 

 grale par 



F (x,y, z, a) = k, (8) 

 Te étant la constante arbitraire. Si l'on veut présentement avoir l'inté- 

 grale de la même équation 2 , dans l'hypothèse de a variable, il est 

 évident qu'on peut encore supposer qu'elle soit représentée par l'é- 

 quation (8), pourvu qu'on y regarde k comme une nouvelle variable, 

 et qu'on détermine convenablement sa valeur, c'est-à-dire, de manière 

 que la différentielle de l'équation (8) reste la même quand a et k 

 sont constantes , et lorsque a et k sont devenues variables. Il faudra 

 donc qu'on ait 



Jl d a = dk; (9) 



