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Institut. 

 Novembre i8i5. 



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Démonstration générale du théorème de Fermât sur les nombres 

 polygones; par A. L. Cauchy, Ingénieur des ponts et chaussées. 



Le théorème dont il s'agit consiste en ce que tout nombre entier 

 peut être formé par l'addition de trois triangulaires, de quatre quarrés, 

 de cinq pentagones, de six hexagones, et ainsi de suite. Les deux 

 premières parties de ce théorème, savoir, que tout nombre entier est 

 la somme de trois triangulaires et de quatre quarrés, sont Jes seules 

 qui aient été démontrées jusqu'à présent ; ainsi qu'on peut le voir 

 dans la Théoflm des nombres de M. Legendre , et dans l'ouvrage de 

 M. Gauss , qui a pour titre Disquisitiones arithmeticœ. J'établis dans 

 le Mémoire que j'ai donnera ce sujet la démonstration de toutes les 

 autres ; et je fais voir en outre que la décomposition d'un nombre 

 entier en cinq pentagones, six hexagones, sept heptagones, etc., peut 

 toujours être effectuée de manière que les divers nombres polygones 

 en question, à l'exception de quatre, soient égaux à zéro ou à l'unité. 

 On peut donc énoncer en général le théorème suivant : 



Tout nombre entier est égal à la somme de quatre pentagones, ou 

 à une semblable somme augmentée d'une imité; à la somme de quatre 

 hexagones , ou à une semblable somme augmentée d'une ou de deux 

 unités ; à la somme de quatre heptagones , ou à une semblable somme 

 augmentée d'une , de deux ou de trois unités , et ainsi de suite. 



La démonstration de ce' théorème est fondée sur la solution du 

 problême suivant: 



Décomposer un nombre entier donné en quatre quarrés dont les 

 racines fassent une somme donnée. 



Je réduis ce dernier problême à la décomposition d'un nombre 

 entier donné en trois quarrés, en faisant voir que, si un nombre entier 

 est décomposable en quatre quarrés dont les racines fassent une 

 somme donnée , le quadruple de ce nombre est décomposable en 

 trois quarrés dont l'un a pour racine la somme dont il s'agit. Il est 

 aisé d'en conclure que le problême proposé ne peut être résolu que 

 dans le cas où le quarré de la somme donnée est inférieur au qua- 

 druple de l'entier que l'on considère, et où la différence de ces deux 

 nombres est décomposable en trois quarrés; ce qui a lieu exclusive- 

 ment, lorsque cette différence, divisée par la plus haute puissance 

 de 4 q^ 8 'y trouve contenue, n'est pas un nombre impair dont la 

 division par 8 donne 7 pour reste. Si aux deux conditions précédentes 

 on ajoute celle que le nombre entier et la somme donnée soient de 

 même espèce, c'est-à-dire;, tous deux pairs ou tous deux impairs; on 

 aura trois conditions qui devront être remplies pour qu'on puisse 

 résoudre le problême dont il s'agit. Mais on ne doit pas en conclure 

 que la solution soit possible toutes les fois qu'on pourra satisfaire à 

 ces mêmes conditions. l 3 our qu'on soit assuré d'obtenir une solution.^ 



