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Note sur Vinté^ation cViine classe particulière d'équatiom 

 différeiilidles ; par A. L. Cauchy. 



l8i8. 



On sait que l'on regarde l'équation dilFe'renlielIe Mathématiques. 



CO dj —J\x,j)d x^o — — 



comme intégrée, lorsqu'on a trouvé un l'acteur propre à convertir le -Académie Royale 

 premier membre de cette équation eu une différentielle exacte. Do '''* cieuces. 



plus il est facile de voir que 



P dy — Q dx et P Jx + Q dy 



seront des différentielles complètes, si P et Q désignent deux fonc- 

 tions réelles d'x et d'/ liées entre elles par une équation de la forme 



(2) (p(:c+j v/-i) = P-Q v/-x. 



On aura en effet dans cette hypothèse 



-Ty-T^ v/-i = »/-x<p'(a-+^V--0=^ V/-I + ^, 

 et par suite 



dy dx' dx dy 



Il est aisé d'en conclure que si l'on pouvait satisfaire à la condition 



O P 



(3) y(x,j) = -p-, ou bien àlasuivante/(ar, j) = — — , 



par des valeurs de P et de Q propres à vérifier en même temps une 

 équation semblable à la formule (a); P, ou Q, serait un facteur 

 propre à rendre intégrable l'équation différentielle donnée. ]l importe 

 donc de savoir dans quel cas on pourra satisfaire aux conditions dont 

 il s'agit, et comment on déterminera dans cette hypothèse la valeur 

 de P , ou celle de Ç). 



Observons d'abord que si dans l'équation (2) on fait j)^ = 0, on 

 en conclura 



P = <pC-r), Q=:o. 



Par suite on ne pourra satisfaire à la première des conditions (3) que 

 dans le cas où l'un aurait 



(4) J{x, o) = o, 



et à la seconde que dans le cas oii l'on aurait 



(5) f{x, 0} = 00, 



Cela posé, concevons que l'on trouve effectivement/ (:r, o) =0. 

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