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QUESTION D'ANALYSE ALGÉBRIQUE; .. . 



PAR M. FOURIER. ^ ..-ZT: , 



Etant donnée une équation algébrique ?'.r = o dont les copftlciens ^'" ' ' ' 



sont exprimés en nombre, si l'on connaît deux limites a cl b entre I- 

 lesquelles une des racines réelles est comprise, il est facile d'ap- 

 procher de plus en plus de la valeur exacte de celte racine. I,e procédé 

 Je plus simple que l'on puisse suivre dans cette recherche, est celui que 

 Neuton a proposé. 11 consiste à substituer dans l'équation <px = o 

 a + j an lieu de x. On omet dans le résultat tous les termes qui con- 

 tiennent les puissances de j- supérieures à la première, et l'on a une 

 équation de cette l'orme mj — 77 = 0, dans laquelle les quantités ?n et n 

 sont des nombres connus. On en conclut la valeur de j; qui, étant 



ajoutée à la première valeur approchée a, donne un résultats -\ 



beaucoup plus voisin de la racine cherchée que ne l'était la première 

 valeur a. Désignant ce résultat par a' , on emploie de nouveau le même 

 procédé pour obtenir une troisième valeur a" beaucoup plus rappro- 

 chée que a , et l'on continue ainsi à déterminer des valeurs de i)lus eii 

 plus exactes de la racine réelle comprise entre les premières limites 

 a et b. On pourrait aussi appliquer ce calcul à la limite b, considérée 

 comme une première valeur approchée, et l'on en déduirait des valeurs 

 successives qui seraient de plus en plus voisines de la même racine. 



Cette méthode d'approximation est un des élémens les plus généraux 

 et les plus utiles de toute l'analyse 5 c'est pour cela qu'il importe 

 beaucoup de la compléter et d'obvier à toutes les difiicultés auxquelles 

 elle peut être sujette. 



On a remarqué depuis long-temps que si les deux premières limites 

 a et b ne sont point assez approchées , aucune d'elles ne peut servir à 

 donner des valeurs successives de plus en plus exactes. 11 peut arriver 

 que la seconde valeur a', déterminée par la règle précédente, soit plus 

 éloignée de la racine que ne l'était la première limite d, en sorte que 

 les substitutions successives, au lieu de conduire à des valeurs appro- 

 • chées de la racine, donneraient des nombres qui s'éloigneraient de plus 

 en plus de cette racine. 



1/inventeur supposait que la valeur de la racine était déjà connue à 

 moins d'un dixième près de cette valeur. Mais il est évident que cette 

 condition, ou n'est point nécessaire, ou n'est point suffisante selon la. 

 grandeur des coefficieus. L'illustre auteur du TraUé de la Pyésulution. 



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