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1°. Lorsque deux uombres c et Z^ substitues clans une ëquation (?^ = o 

 fournissent deux résullats de signe contraire, et lorsque l'équalion a 

 «ne seule racine réelle entre ces deux limites a et b, peut-on découvrir 

 un moyen de reconnaître j)romptement et avec certitude si celte pre- 

 mière approximation est su/lisante, pour que les substiliilious opérées 

 suivant la méthode de Neuton, donnent nécessairement des valeurs de 

 plus en plus approchées^ et comment doit-on distinguer ce cas de celui 

 où les substitutions pourraient conduire à des résullats divergens? 



20. L'application de la méthode ne pouvant donner que dos valeurs 

 qui sont toutes plus grandes ou toutes plus petites que la racine cher- 

 chée, quel procédé faut-il suivre pour mesurer facilement le degré 

 d'approximation que l'on vient d'obtenir, c'est-k-dire, pour distinguer 

 la partie du résultat qui contient des chiffres décimaux exacts appar- 

 tenans à la racine? 



L'objet de cette note est de donner des règles certaines et générales- 

 pour résoudre les deux questions que l'on vient d'énoncer. 



1 8 1 a.. 



Pour satisfaire à la première question, il faut différentier successi- Y,. 

 vement la proposée <?> a; =o, en divisant par la difterentielle de la va- 

 riable. On formera ainsi les fonctions ®'.r^ <P".t, 'P'" x , etc., et l'on 

 substituera chacune des deux limites a et i à la place de x dans la 

 suite complète <px, (p'x, <P"x, (b"'x.... etc.; on obtiendra ainsi 

 deux séries de résullats dont il suffira d'observer les signes. 



1°. Il suit de l'hypothèse môme, que le signe du premier terme dans 

 la suite correspondante à la limite a, diffère du signe du premier terme 

 dans la suite que donne la substitution de h. S'il n'y a aucune autre 

 différence entre les deux suiles de signes, c'esl-à-dire, si tous les termes, 

 excepté le premier, ont le même signe dans l'une et l'autre suite, l'ap- 

 plicalion de la méthode doimera nécessairement des valeurs de plus 

 en plus approchées 3 il est impossible que dans ce cas ou soit conduit 

 à des valeurs divergentes. 



2°. Si la condition que l'on vient d'exprimer n'a pas lieu , on recon- 

 naîtra que les deux limites aei h ne sont point assez approchées, et l'on 

 substii.uera un nombre iulermédiaire, en examinant si le résultat de la: 

 substitution, comparé à celui de « ou à celui de b, satisfait à celle con- 

 dition. On arrivera très-promptement au but par ces substitutions, et 

 l'on ne doit en général commencer l'approximation que lorsqu'on' 

 aura trouvé deux suites de signes qui ne diffèrent que par le premier 

 terme, résullat qu'on ne peut manquer d'obtenir si l'on connaît deux: 

 limites a ai b d'une racine réelle. 



5'^'. Pour trouver les valeurs convergentes, il ne faut ])as employer' 

 indifféremment l'une ou l'autre des limites; il faut en génénd choisir.' 

 celle des deux limites pour laquelle la suite des signes contient aui 



