( r,5 ) ' " - 



Far cons(^(]uent les cLlffres décimaux exacts qui apparlicnueiit h la 1818. 



racine, sotit les chiH'res communs qui se Irouvetit au commencement 

 de «' et au commencement de B'; les cliifl'res suivaus doivent être omis. 

 Ou coutiuuera ainsi ]'aj)proximation, en joij:,nanl toujours à la valsur 

 donnée par le procédé connu une autre valeur approchée /3 qui serve 

 de limite, et l'on déterminera facilement par ce mojcn les chillres 

 exacts de la racine. 



a". Ou détermine la première valeur approchée <x' en substituant a 



au lieu de x dans 1 expression x r— ou .r — ç> x : — — — -- ; on pour- 



rait trouver une seconde valeur approchée /S', en substituant la même 



limite a dans l'expression x — ç> x : — ^^ , Ax désignant la différence 



finie X — B des deux limites. Mais cette règle que nous avions donnée 

 autrefois, parce qu'elle est clairement in()iquce par les constructions, 

 ne fait pas connaître le degré de l'approximation aussi facilement que 

 celle qui est énoncée dans le paragraphe ( i°0 du présent article. 



5°. Celte règle du paragraphe fi".) de cet article, qui sert à obtenir 

 une seconde valeur approchée B', completle l'approximation , puis- 

 qu'elle donne toujours des limiîes Oj)j)()sées à celles qui se déduisent 

 du procédé de 1 article I. On connaîl par là combien les approximations 

 de ce genre sont rapides. On en conclut que si l'on emploie une valeur 

 approchée « pour déterminer une nouvelle valeur «' , et si la première x 

 contient déjà un très -grand nombre r? de ( hiOrcs décimaux exacis 

 (c'est-à-dire qui apparlieiment à la racine < hcrchée), la seconde va- 

 leur x' contiendra un nombre 271 de ces chiffres exacts. Le nombre 

 des chiffres qui appartiennent à la racine devient double à chaque 

 opération. On a fait depuis long-temps une renwrque semblable par 

 rapport aux chiffres décimaux que fournit la méthode d'extraction des 

 racines carrées; mais ce résultat convient à toutes les équ;itions; 

 quelle que soit la nature de la fonction (px, c'est un caractère commua 

 aux approximations du premier degré qui proviennent des substitu- 

 tions successives. 



Voici l'énoncé exact de celte proposition : si le nombre des chiures 

 déjà connu est n , une seule opération en fera connaître plusieurs autres 

 eu nombre n', et n' est égal à 77 plus ou moins un nombre constant k, 

 qui est le môme pour toutes les oj)érations. 



4°. On peut aussi se dispenser de calculer séparément la valeur 

 de la seconde limite B' suivant la règle du paragraphe ('"•) du 

 présent article; il sufliit de déterminer la première de ces limites «', 

 et de connaître d'avance le nombre des chiffres exacts qu'elle doit 

 contenir. 



Lii>raison de mai. o 



r^rae 



